ヒントください

質問

aを正の定数、対数は自然対数として、
曲線Ｃ：y=log{cosx}+a [-π/2<x<π/2]
とｘ軸の２交点をＡ、Ｂとし、ＣのうちＡとＢを結ぶ部分の弧長をＬとする。

1} log{1+sinx}-log{1-sinx}の導関数を求めよ。
２｝　a={1/2}*log2のとき、Ｌの値を求めよ
3} aがせいの値をとって変化するとき、L-4aの最大値を求めよ

1}はたぶん -2tanx という答えがでたんですが、２番以降わかりません。ヒントお願いします

回答No.6

oyaoya65 · ベストアンサー

#5です。
参考までに

3)の結果を計算してみたところ
a=log{(3√3)/5}のとき
(L-4a)の最大値＝log{(25√5)/27}
なりました。

うまく計算が出来ない場合は
計算過程を示して補足質問してください。

回答No.5

oyaoya65

#1です。
2)まとめると
L=∫{-π/4～π/4}√[1+(y')^2]dx
y'=-tan x を代入
=∫{-π/4～π/4}{1/cos(x)}dx=∫{0～π/4}{2/cos(x)}dx
1)の結果より
=[log{1+sinx}-log{1-sinx}]{0～π/4}
=...=log(3+2√2)
となりますね。

3)b=arccos{e^(-a)}とおいて
L=∫{-b～b}√[1+(y')^2]dx
=...=[log{1+sinx}-log{1-sinx}]{0～b}
=[log{1+sin b}-log{1-sin b}]
=...
後は残しておきますのでやってみてください。

回答No.4

debut

＞２｝ですが
＞=∫{-π/4～π/4}√[1+sinx^2]dx
＞となりこのあとはどうすればよいですか

　y'はどうなりましたか？
　y'=-sinx/cosx=-tanx じゃないですか？
　だから、積分は　∫{-π/4～π/4}√[1+(-tanx)^2]dx
　　　　　　　　　＝∫{-π/4～π/4}√[1+(tanx)^2]dx
　　　　　　　　　＝∫{-π/4～π/4}√[1/(cosx)^2]dx
　　　　　　　　　＝∫{-π/4～π/4} 1/cosx dx
　となって、1}の問題が使えるのでしょう。

回答No.3

endlessriver

１．答えはあっているが、いきなり、下記が出てくるのか私には判ん（暇ありなら教えて！）。
g{x}´＝[1/{cosx}]+[1/cosx]
２．曲線の区間を [-π/2<x<π/2]としてあるので、cosx=1/√2の解は　-π/4,π/4で積分範囲は [-π/4=<x=<π/4]としないといけません。
３．Ｌ=∫{π/4～7π/4}√[1+{log(cosx)+(1/2)*log2}^2]dx
は誤り。曲線f(x)の長さは=∫√[1+(f '(x))^2]。
この積分は面倒だが、以下の問題が解答になっていたりして(~、~)。
1} log{1+sinx}-log{1-sinx}の導関数を求めよ。

４．最後の３）は計算してみましたが、今までの議論がヒントになっていて求められるようですが（年寄りなので根気が無く最後までできんm(_ _)m）、少し面倒で緻密にポイントを押さえて計算していく必要があるようです。
方針としては
a)Ｃの関数のＸ軸の交点（ａの関数となる）を求める。交点の値は綺麗に求められずそのまま関係式だけにしておく。またcosなので交点の２値は絶対値が等しいことを利用するとさらに整理できる。
b)Ｌ－４ａをａで微分して０となる極値を求める。このときa)で求めた交点の関係式を入れて整理し、ａの値を求める。
ｃ）最後に、b)の微分値の極値の両側での正負や定義域全般にわたり、単調増加、減少などを検討して極値が本当の最大値かどうか評価します。

補足

詳しい説明ありがとうございます。
２｝ですが
=∫{-π/4～π/4}√[1+sinx^2]dx
となりこのあとはどうすればよいですか

回答No.2

noname#24477

1)は後ろの部分の符号を間違えているのだと思います。
2)はｙ＝０になるときのｘは求められますか？
　曲線の長さを求める公式は知っていますか？

補足

ｘはπ/4と7π/4とでました。
それで
Ｌ＝∫[π/4～7π/4]√（1+sinx^2）}dx
とまではでました。
これって遇関数ですよね。sinx^2は消せないんですか。

回答No.1

oyaoya65

回答者さんの分かる範囲での解答（途中の計算も）を示して質問してください。

＞1}はたぶん -2tanx という答えがでたんです
間違っています。正しくは 2sec(x)となります。

解答の途中の過程が書いてありませんので何処で間違われたかアドバイスできません。

補足

失礼しました。

再び計算してみました
ｇ(ｘ)＝log{1+sinx}-log{1-sinx}とおくと
g{x}´＝[1/{cosx}]+[1/cosx]
=2/cosx
こうなりました。
２｝では
Ｃ：y=log{cosx}+{1/2}*log2
このグラフとｘ軸との交点は
log{cosx}=-{1/2}*log2=log{1/√2}
よって、cosx=1/√2
x=π/4,7π/4
これより
Ｌ=∫{π/4～7π/4}√[1+{log(cosx)+(1/2)*log2}^2]dx
というところまではできたのですがどう積分すればよいか分かりません
３｝については２｝が分からないのとどうせめればよいかもわかりません。