問題が解けなくて困っています。何かヒントやアドバイスをよろしくおねがい

質問

問題が解けなくて困っています。何かヒントやアドバイスをよろしくおねがいします。

nは3以上の整数
異なるn個の正の数からなる集合
s={A1,A2,....,An}において
Ai-A1(iは２以上n以下)がすべてsの要素であるとき、数列A1,A2.....Anは順序を適当に入れ替えて等差数列になることを証明せよ。

よろしくおねがいします

回答No.4

alice_44

ポイントは、A1 ＞ 0 であることです。
Ai を小さい順に並べ替えたものを Bi とし、
集合 T =｛ Bi - B1 ｜ i=2,…,n ｝を考えると、
Bn が T の元ではあり得ないことから、
T は、U =｛ Bi ｜ i=1,…,n-1 ｝と一致します。
小さい順に U と T の元の対応をとれば、
Bi = B(i+1) - B1 : i=1,…,n-1
であることが解ります。Q.E.D.

回答No.3

noname#149523

ヒント

A1はsの最小値である。
等差数列ができるのなら、それは単調増加数列である。
sの要素を小さい順に並び替えたものを改めてA1,A2,…Anとおく。
A2-A1=d　とする。
A1=d　を示す。
A1=d　A2=2d　から
A3=3d　を示す…

回答No.2

R_Earl

> Ai-A1(iは２以上n以下)がすべてsの要素であるとき、

Ai - A1がsの要素になるという事と、sが正の数の集合であることから、
A1はsの中の最小値でなければなりません
(例えばA3がsの最小値だと仮定すると、
A3よりも小さいA3 - A1がsの中に含まれるのは変)。

また、適当な等差数列Anを用いて、Ai - A1が全てAnの要素になるかを調べてください。
恐らくAn = 2n + 4やAn = 3n + 5のような等差数列ではこの条件を満たせません。
満たせるのはAn = 2nやAn = 5nのような、
「初項を公差として持つ等差数列」に限定されると思います。

なので証明するのであれば、次の事を利用すると良いと思います。

(1) sの最小値はA1である
(2) A1, A2, …, Anを並び替えてできる等差数列は(A1)nの形を取ると予想できる

これだけ情報が集まれば何とかなりそうな気がします。

sの最小値A1は、現在予想している等差数列の第1項の形です。

sの中の2番目に小さい値をAsとおくと、
仮定より「Ai-A1(iは2以上n以下)がすべてsの要素である」ので
As - A1もsの要素となります。
しかしAs - A1はAsよりも小さいので、
As - A1がsの要素となるのは「As - A1 = A1の場合」しか考えられません。
よってAs - A1 = A1より、As = 2A1となります。
これは予想している等差数列の第2項の形です。

同様にsの中の3番目に小さい値をAtとおくと、
At - A1もsの要素となります。
At - A1はAtよりも小さいので、At - A1がsの要素となるなら、
At - A1の値はA1またはAsのどちらかしかありえませんよね。
At - A1 = A1は成り立たないので(もし成り立つとAs = Atとなってしまい、
問題の仮定「sは異なるn個の正の数の集合」を満たさなくなります)、
At - A1の値はAsとなります。
よって
At - A1 = As
At = As + A1
∴At = 3A1
となります。
これは予想している等差数列の第3項の形です。

以下同様に考えていけば、sの要素は
初項A1, 公差A1の等差数列の第1項～第n項である事が言えるはずです。
後はこの方針で証明を進めていけば良いと思います。

回答No.1

nag0720

Ai-A1（i≧2）がsに含まれることから、A1が集合sの最小値であることが分かります。
よって、sの要素を小さい順に並べた数列をB1,B2,....,Bnとすると、A1=B1となります。

B1＜B2＜B3＜....＜Bn
より、
B2-B1＜B3-B1＜....＜Bn-B1

これらがsの要素であることから、
B2-B1＜B2より、B2-B1=B1　（B2より小さい数はB1だけ）
B1=B2-B1＜B3-B1＜B3より、B3-B1=B2　（B1より大きくB3より小さい数はB2だけ）
B2=B3-B1＜B4-B1＜B4より、B4-B1=B3　（B2より大きくB4より小さい数はB3だけ）
以下同様に、
B5-B1=B4
B6-B1=B5
....
Bn-B1=B[n-1]
となります。

よって、
B2-B1=B1
B3-B2=B1
B4-B3=B1
B5-B4=B1
....
Bn-B[n-1]=B1
となり、等差数列であることが分かります。