二次方程式について

質問

二次方程式について質問です。今x^2+ax+b=0という方程式が与えられているとき、xの二つの解、もしくは二つの解の実数部が負であるための必要十分条件はa>0かつb>0であると聞きました。なぜこうなるのかわかりません。もし解がある場合ですと、xはx=(-a+-sqrt(a^2-4b))/2となりますよね？(sqrtはルートの意味で使いました)じゃあ別にb>0という条件はいらないと思うのですが・・・。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＜二つの解の実数部＞というところを誤解しているのではないでしょうか。

（１）２つの虚数解をもつとき（Ｄ＜０⇔ a^2＜4b）
　解の公式の√は虚数部になりますので、実数部はｘ＝-a/2です。
　したがって、この時の条件は次のようになります。

　　-a/2＜０　∴ａ＞０

　また判別式の条件から、ｂ＞０　となります。

（２）　２つの実数解　または　１つの実数重解をもつとき（Ｄ≧０⇔ a^2≧4b ）
　解の公式から、ｘ＝{-a±√(a^2-4b)}/2　となります。
　この２つの解がともに負なので、次のようになります。

　　-a±√(a^2-4b)＜０
　⇔±√(a^2-4b)＜a

　ここで、ａ＜０のとき　±√(a^2-4b)＜０となり、複号の正を満足できないので、ａ≧０　でなければならない。
　このとき（ａ≧０）上の不等式は次のように変形されます。
　　　√(a^2-4b)＜ａ
　　⇔a^2-4b＜a^2
　　∴b＞０
　　ここから、判別式の条件を考えると、　ａ＞０　となります。

　以上のことから（１）（２）をまとめますと、お尋ねの通り、次の必要十分条件が導かれます。

　∴ａ＞０、ｂ＞０

　ちなみに、ａ＞０だけでしたら、例えば、x^2-2x-3＝０　では（ｘ=-1,3)　となって、2つの実数解は負になりませんよ。

お礼

丁寧にありがとうございます。導けました。

回答No.4

kukineko

解が２つとも負である為には、大きい方の解が負
｛-a+SQRT(a^2-4b）｝／２＝-a^2+（a^2-4b)／2｛a+SQRT(a^2-4b)}＝-2b／a+SQRT(a^2-4b)
a+SQRT(a^2-4b)>0より-2b<0　よってb>0
ではないでしょうか？？

お礼

見落としていた部分がありました。ありがとうございました。

回答No.2

Willyt

ｂが負なら実数解があるとき、二つの解のうちの一つが必ず正になってしまいますから、正である必要があります。

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

NNori

うーん、何年生の問題ですか？
実数部ということは虚数もならってるのですか？
虚数を知ってるなら、「もし解がある場合」というのは変で虚数を許すならば必ず解はあります。（１個かもしれませんが）

ということで、実数解が存在する条件は、
D=a^2-4b
が正ですよね。こいつが負ならば実根はないわけで、あなたが言うように実部は-a/2 になるので a>0 だけです。
ども実根があって負になるためには、
-a ± sqrt( a ^ 2 - 4b ) が両方とも負でないといけません。
こっちで b > 0 の条件が必要になります。
....ここから先はグラフを思い浮かべて解きます。

お礼

一応今大学生です。。。上の人の解答で導くことができました。解答してくださり、ありがとうございました。