数学IIの軌跡の問題について

質問

今数学IIの軌跡の問題を学習しているのですが、いくつか分からないことがあったので質問します。
・逆が成り立つことを記述するのはどのようなときなのでしょうか。
・軌跡がx=の式になった場合に、それが答えになるのか、立てた式に代入するのかを判断するのにはのようにすればいよいのでしょうか。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞xの値がでたときにyの式に代入しないものなのでしょうか？

言ってる意味がわかりにくいが、軌跡は常にxとyとの関係式として求められるとは限らない。xだけの関係式の場合もある。当然にも、yだけの時もある。

この問題の場合でも、2つの交点をＡ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）とし、中点をＰ（α、β）とすると、x1とx2は　y=x^2+1と直線y=x+kとを連立した方程式：x＾2-x＋1-k＝0‥‥(1)　の2つの解であるから、解と係数よりx1＋x2＝1、x1x2＝1-kとなる。
これが異なる2点で交わるから判別式＞0.　ここから、4k＞3‥‥(2)の条件が出る。
又、2α＝x1＋x2＝1、2β＝1-k。k＝1-2β＞3/4.

つまり、軌跡とはパラメーター（変化するもの、この場合はk）を消去してxとyの関係を求める事をさす。
勿論、先に述べたように軌跡がxだけの関係式、yだけの関係式の場合もある。

＞・逆が成り立つことを記述するのはどのようなときなのでしょうか。

軌跡を求める場合は、先ず必要条件として求め、それが十分条件でもあるかどうかの確認が必要。
所謂軌跡の限界というものだが、たとえ軌跡に限界がなくても-その場合は限界がないと書かねばならない-触れなければならない。

回答No.4

take_5

訂正、書き込みミス。

2α＝x1＋x2＝1、2β＝1-k。k＝1-2β＞3/4.

　　　↓

2α＝x1＋x2＝1、2β＝y1+y2＝（x1＋k）＋（x2＋k）＝1-2k。2k＝2β-1＞3/2.

回答No.2

hatake333

>逆が成り立つことを記述するのはどのようなときなのでしょうか。

問題が
「点P(x , y)において，条件AをみたすときPの軌跡Bを求めよ」
だったとします．
このとき，この問題の解である軌跡Bは次のことを満たさないといけません．
(i)条件A　→　軌跡B
(ii)軌跡B　→　条件A

まず，条件Aを用いて，x , y の条件から軌跡B；f(x , y) = 0 を得ますよね．
この時点で，(i)を満たしています．
しかし，この軌跡Bを満たすすべての(x , y)の組が条件Aを満たすかどうかは分かりません．
ので，(ii)も調べないといけないわけです．
(i)と(ii)は命題として互いに逆の関係にあるので，
(ii)は(i)の逆を証明するのと同じことですね．
ですから，このような問題の場合は逆も示さなければならないわけです．
しかし，実際には
「条件Aを用いて，x , y の条件から軌跡B；f(x , y) = 0 を得る」
式変形の過程をそのまま逆にたどれば逆も示すことになることが多いので
逆の証明は「これは逆も成り立つので」と形式的にかくだけの場合がほとんどです．

>軌跡がx=の式になった場合に、それが答えになるのか、立てた式に代入するのかを判断するのにはのようにすればいよいのでしょうか。

すみません．質問の内容がよくわからないので，具体的に問題を挙げてもらえませんか？
つまり，
　　軌跡がx=の式になる問題で，それが答えになる問題
と
　　軌跡がx=の式になる問題で，立てた式に代入した問題
を補足に挙げてください．

回答No.1

take_5

解答ができないわけではないが、一般論では解答しにくい。適当な例を挙げて欲しい。

お礼

放物線y=x^2+1と直線y=x+kが異なる二点A,Bで交わっているとき、定数kの値の範囲を求めよ。また、kの値が変化するとき、線分ABの中点の軌跡を求めよ。　　

という問題です。
この問題の線分ABの軌跡はx=1/2のk>4/5の部分となるのですが、
x=1/2とxの値が出ているので、線分ABの中点を(x,y)としたときの
y=x+kという式に代入して放物線y=(x-1/2)^2+5/4という軌跡をだしたところ間違ってしまいました。
xの値がでたときにyの式に代入しないものなのでしょうか？