数学IIの問題！

質問

数学IIの問題！

・３次方程式x^3+(a-4)x-2a=0の２重解をもつとき、定数aの値を求めよ。

・３次方程式x^3-2x^2+x+3=0の３つの解をα，β，γ
とするとき、次の値を求めよ。
(１)α+β+γ，αβ+βγ+γα，αβγ
(２)α^2+β^2+γ^2
(３)α^2+β^2+γ^2
(４)(α+β)(β+γ)(γ+α)

です。解き方がわからないのでお願いします；

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

一問目の「解き方」：

f(x) = x^3 + (a-4)x - 2a と置くと、
方程式 f(x) = 0 の重解は、
連立方程式 f(x) = f ' (x) = 0 の解である。
多項式 f(x) を多項式 f ' (x) で割った余りを g(x) と置けば、
f(x) = 0 の重解は、g(x) = 0 の解でもある。
多項式 g(x) を具体的に計算して、g(x) = 0 の解を a の式で表し、
f(x) = 0 へ代入すれば、a に関する方程式が見つかる。
それを解いて得た a は、f(x) = 0 が重解を持つ a なので、
三重解でなく二重解であることを、個々の a について検算のこと。

二問目の「解き方」：

代数方程式の解と係数の関係より、(1) が直ちに分る。
対称式は基本対称式の整式で表せるので、それを信じて、
(2)～(4) の各式を (1) の式の整式で表すようにガンバル。