実数の性質の証明をご教授願います。

質問

実数の性質について教えてください。
問題
二つのx,y∈R(Rは実数)に対して、x=y,x<y,x>yの三つのうちどれか一つのみが成立することを示せ。
です。
実数の切断や全順序などを使うので はないかと考えておりますが、なかなか証明の手だてがわからず、証明が作れません。
よろしくお願いします。

回答No.3

funoe

＞実数の切断や全順序などを使うので はないかと考えておりますが
ってことは、大小の定義は
ｘの下組⊂ｙの下組　⇔　x<=y　　
ｘの下組＝ｙの下組　⇔　x=y　　ですかね。

なら、
ｘの下組≠ｙの下組　ならば、　
ｘの下組⊂ｙの下組　か、ｙの下組⊂ｘの下組　のどちらか一方だけが成り立つことを示す。

ｘの下組≠ｙの下組　なら、
ある有理数ｚで、ｘの下組に含まれるがｙの下組に含まれないものがある。
または、
ある有理数ｚで、ｙの下組に含まれるがｘの下組に含まれないものがある。

前者のとき、
切断の定義からｙの下組の元ｗはｗ＜ｚ　（ｚはｙの上組の元なので下組の元より大きい）
また、ｗ∈ｘの下組　（ｘの下組の元ｚより小さい有理数ｗはｘの下組に含まれる）
となり、
ｙの下組⊂ｘの下組　かつ￢（ｘの下組⊂ｙの下組）　となることがわかる。
後者のときも同様に、
ｘの下組⊂ｙの下組　かつ￢（ｙの下組⊂ｘの下組）　となることがわかる。

以上より
任意の切断ｘ、ｙについて、ｘの下組＝ｙの下組　か　ｙの下組⊂ｘの下組　か　ｘの下組⊂ｙの下組
の一つだけが成り立つ。

回答No.2

kabaokaba

結局はどこかで背理法になるでしょうけど
そもそも

実数x,yに対してx>yである

とはどういう定義なのでしょうか？
というような
実数の定義をどこまでどのようにして定めているか？
にかかわってくるように思います

普通に考えるのであれば
この問題は，
実数xと実数0の大小関係に集約されるように思います．

＃この手の証明って，教科書や講義の流儀によって
＃いろいろ変化するのが普通です

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

こういうときにこそ背理法！　柔軟な発想？も時には役に立ちます♪

これ以上は書く必要もないと思うけれど・・・。

適当に　（ｘ　背理　ｙ）　というのを作って　以下Ａと略ね。

これを　実数上で、　ｘ＝ｙ、ｘ＞ｙ、ｘ＜ｙ　ではないものとして

成立しているものとしてあげます。

これが成立しないことを考えればいいだけ。

実数ですからね、複素数絡まないし、　ｘ≠ｙ　ならば　必ず　ｘ＜ｙ　または　ｘ＞ｙなのでね。

こういう証明では足りないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)