電磁気学の問題のチェック

質問

力学に続き電磁気学の問題を解きました
チェックを願いします

問題
　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする

(1)点Ｐでの電場の強さをｒの関数として求めよ

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｅⅰ=0

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Eⅱ＝Q/4πε０r^2

ⅲ）r２＜rのとき
Ｅⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2

(2)点Ｐでの電位をｒの関数として求めなさい

ⅰ）0≦r＜r1のとき
Ｖⅰ=1/(4πε０r^2)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2))
=1/(4πε０r^2)((Q1/r1)+(Q1/r2))

ⅱ）r1＜r＜r２のとき
Vⅱ=1/(4πε０r^2)((Q1/r)+(-Q1/r)+(Q1+Q2/r2))

ⅲ）r２＜rのとき
Vⅲ=1/(4πε０r^2)((Q1+Q2)/r)

(3)初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めなさい
球殻１
Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０r^2)((Q1/r1)+(Q1/r2))
=Q1^2/(8πε０r^2)((1/r1)+(1/r2))
球殻２
U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０r^2)((Q1+Q2)/r)

見にくくてすいません。あと２問あるのですが後日改めて書こうと思います。チェックをお願いします

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

電場も電位も重ね合わせるのが簡明ですね。
半径a，電荷Qの球殻について
電場：E=0（内部），kQ/r^2（外部）
電位：V=kQ/a（内部），kQ/r（外部）

※k=1/(4πε0)
a=r1，a=r2の両者について重ね合わせます。

(1)はOK。(2)は4πε0r^2とi)のQ1/r2はコピーミス
としてもii)がおかしくないですか？
Vii=k(Q1/r+Q2/r2)
になると思います。
電位はr=r1およびr=r2で連続になるはずです。

したがって上の誤りをひきずった(3)は計算しなおし
ですね。電場のエネルギーの計算方法として，
エネルギー密度1/2・ε0E^2を体積積分する方法も
ありますから，これでチェックできます。
U=1/2・ε0(∫[r1～r2]E^2・4πr^2dr
+ ∫[r2～∞]E^2・4πr^2dr)
=1/(8πε0){Q1^2/r1 + Q2(2Q1+Q2)/r2}
となりましたがいかがでしょうか？

お礼

電場エネルギーのエネルギー密度1/2・ε0E^2を体積積分する方法は知りませんでした。
もう一度やり直してみます
ありがとうございます

回答No.1

noname#161582

問(1)は問題ないと思います。

問(2)は誤りです。

電位V(r)と電場の強さE(r)の関係は E=-dV/dr で与えられます。

Vをrで微分したEの値が問(1)より領域1で0、領域2と3で1/r^2のオーダーなので、
Vは領域1では定数、領域2と3で1/rのオーダーでないとおかしいです。

Vは上の微分方程式を、境界条件
V3(r2)=V2(r2) , V2(r1)=V1(r1)
で解けば求められます。

問(3)系のエネルギーが変数rを含むのはおかしいです。
上で求めたVを用いて、
U1=(1/2)Q1V1(r1) [あるいは U1=(1/2)Q1V2(r1)]
U2=(1/2)Q2V2(r2) [あるいは U2=(1/2)Q2V3(r2)]
となります。
V1(r),V2(r) ではなく球殻上での値 V1(r1),V2(r2)であることに注意してください。

お礼

いつもありがとうございます
もう一度計算を見直してみます