接地した同心導体球の問題について・・・

質問

同心導体球において、内球半径a[m],球殻半径b[m],外球半径c[m]と与えられている。
内球の電荷Q1=5*10^-10,外球の電荷Q2=-4*10^-10であり、外球は接地している。
このとき、r>cの範囲における、rの電界と電位を表せ。
と言う問題なのですが、

接地という概念についていまいち理解することができません。
まず、接地しているという条件から、おそらく電位は0[V]であると思います。
そして、r>vにおける電界を考えると、内側の電位の合計「Q1+Q2」の点電荷が球の中心にあると考え
E=(Q1+Q2)/(4πεr^2)[V/m]によって求めることができるのでしょうか。

更に問題では、内側の導体と外側の導体の電位差を求めよ。と続きます。
外球が接地しているという条件より、外側の導体の電位は0[V]となることは分かります。
しかし、内球の電位を考えた場合、
通常、グランドに繋がっていない場合は
V=((+Q1)/(4πεa))+((-Q1)/(4πεb))+((Q1+Q2)/(4πεc))
となると思うのですが、
r>cにおける電位は0[V]だと先ほど求めたため、
V=((+Q1)/(4πεa))+((-Q1)/(4πεb))+0
とも考えられる気がします。

グランドに繋ぐことで、((Q1+Q2)/(4πεc))の値は消えてしまうのでしょうか。
この問題は、以前の試験問題だったようで、回答がないので、はっきりとした答えが分かりません。

どなたか可能でしたらお返事お願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

eatern27 さん：
> 半径a,b,cの球殻が３つあるという事でいいですか？

半径 a の導体球(中まで詰まっている)と
内径 b ，外径 c の導体球殻という系のことでしょう．
すなわち，0<r<a の部分と b<r<c の部分が導体です．

> そして、r>vにおける電界を考えると、
> 内側の電位の合計「Q1+Q2」の点電荷が球の中心にあると考え
> E=(Q1+Q2)/(4πεr^2)[V/m]によって求めることができるのでしょうか。

そうはなりません．
球殻を接地したのですから球殻の電位はゼロ，
球殻と無限遠の間の電場はゼロのはずです．
つまり，問題の前半の答は計算するまでもなく明らかでした．

多少詳しく見てみます．
まず，導体内では電場はゼロですから
0<r<a と b<r<c では E=0 です．
内側の球に与えた電荷 Q1 は導体表面に均等に分布します．
したがって，a<r<b では Gauss の法則からわかりますように，
電場は E=Q/4πεr^2 です．
Q1 の電荷が中心にあるように見えます．

次に，外側の球殻に与えた電荷は導体表面に分布するのですが，
球殻内側と無限遠に分かれて分布します．
外側球殻を接地していますからこうなります．
もし設置していなければ，内側表面(r=b)と外側表面(r=c)に分かれて分布します．
さて，半径 r が b<r<c であるような球面に Gauss の法則を適用してみます．
導体内では電場がゼロですから当然電場の面積分もゼロです．
これが半径 r の球内の電荷総量の 1/ε に等しいというのが Gauss の法則ですから，
半径 r の球内の電荷総量はゼロです．
内側の球に Q1 だけ電荷が分布しているのですから，
球殻の内側表面(r=b)には -Q1 だけの電荷が分布していないといけません．
球殻には Q2 の電荷を与えたのですから，
Q2+Q1 だけどこかにないといけないわけで，
Q2+Q1 は接地した線を伝わって無限遠まで逃げていきます．
つまり，球殻外側表面(r=c)には電荷はありません．

今度は r>c の球面に Gauss の定理を適用します．
内部の電荷総量はゼロですから，電場もゼロです．
導体球殻と無限遠とは同電位ですから(接地！)，
その間で電場が存在しないのは当然です．
これは最初に述べました．

まとめますと，
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q/4πεr^2
b<r　　　　E=0
です．

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もし，外側の球殻を接地していなければ以下のようになります．
今度は導体球殻外側表面(r=c)に Q2+Q1 の電荷が均等に分布します
(つまり，接地していないので，これ以上遠くに逃げられない)．
r>c の球面に Gauss の定理を適用したときに，
内部の電荷総量は Q2 になりますから
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q1/4πεr^2
b<r<c　　　E=0
c<r　 では E=Q2/4πεr^2

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電場がわかれば電位の計算は大丈夫ですよね．
それから，電荷 Q1=5*10^-10 などに単位が抜けていますね．

お礼

丁寧に順を追った説明どうもありがとうございます。
電荷が接地することで、流れ出ることに気づいていませんでした。
しっかりと理解することができました！
ただ、接地していない場合の同心導体球の問題の場合、
>導体球殻外側表面(r=c)に Q2+Q1 の電荷が均等に分布します
ですので、c<r　では E=(Q2+Q1)/4πεr^2だと思いました。

回答No.1

eatern27

＞同心導体球において、内球半径a[m],球殻半径b[m],外球半径c[m]と与えられている。

半径a,b,cの球殻が３つあるという事でいいですか？

＞内球の電荷Q1=5*10^-10,外球の電荷Q2=-4*10^-10であり、外球は接地している。
外球に電荷を与えても接地したら導線から電荷が逃げたり入ってきたりしてしまうと思いますが、「外球に電荷Q2を与えて,外球を接地した」という事で間違いないですか？(例えば、半径bの球殻に電荷Q2を与えたとかではありませんか？)

お礼

遅れて申し訳ありません。
siegmundさんが回答して頂いたように、(0,a)と(b,c)が導体となっている同心導体球です。
ですので、問題の方も「外球に電荷Q2を与えて,外球を接地した」となっています。