電磁気学(静電場)

質問

一様に帯電した半径Ｒの薄い円板の軸上で、中心から距離ｒの点Ｐにおける電場を計算せよ。

という問題なのですが、

円板を、円板の軸がｘ軸に一致するようにyz平面において考えました。
電荷の面密度をσとすると、z軸上のσがつくる点Ｐでの電位は
(σ/4πε)(1/(r^2+z^2)^(1/2))
で、それをz:0→R、θ:0→2πまで積分すると、
点Ｐでの電位は

φ=(σ/2ε)log((R+(r^2+R^2)^(1/2))/r)

となったのですが、ここからどうすればいいのかわかりません。

そもそもE=-∇φを使おうと思って電位を出したのですが、φをどのように微分すればいいかわかりません。

因みに答えは

向きはr方向で、大きさは
(σ/2ε)(1-(r/(r^2+R^2)^(1/2)))

となっています。

宜しくお願いします。

回答No.1

kovarin · ベストアンサー

orangeapple55さんの考えた方針は分かりやすくて大変良いと思います。
ただ、φの計算の所が間違っていると思います。
おそらくφは、
φ=(σ/2ε)((r^2+R^2)^(1/2)-r)
となると思いますよ。
円盤上で積分するときは、まず2πzをかけてから、z:0→Rで積分するとうまくいくと思います。

お礼

ありがとうございます。
仰った通りの手順で積分したら、
φ=(σ/2ε)((r^2+R^2)^(1/2)-r)
が出てきました。

そしてこれをrで微分したらどうやら答えが出てきますね。
電場はx軸方向だからx軸方向、つまりrで微分すればいいということですかね。

助かりました。
ありがとうございました。