あとひとつ・・・・おねがいします。

質問

続けてすいませんが、あとひとつ。
正の整数ａ,b,cが
　　　　　　a^2＋b^2＝C^2
を満たすとき、ａ、ｂは少なくとも一方は３の倍数であることを証明せよ。
という問題で背理法を使うとき、a＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１(k,m：整数)と解答で書いてありました。
でもこれだとｋ＝０のとき、a＝b＝±1となりａが整数という条件から矛盾してしまうのでいけないのではないのでしょうか？

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

先ほどの説明#3に関し, 誤解なきよう, さらに少し補足．

(今考えている)3の倍数でない正の整数a,bはa＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１(k,m：整数)の形に必ず表せて(逆は言えなくて良い), 『それらを含め, 全てのa＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１(k,m：整数)の形に表せる整数全てに関し, a^2＋b^2を3で割った余りは2になるが...(中略)矛盾』と話を運びます.

本来示さねばならないのは(最小限)正の場合なのですが, それも含めもっと強い形で, 3の倍数でない整数全てについて矛盾することを証明するわけです.

これは, 獲物(3の倍数でない正の整数a,b)を逃がさなければ, 他に余分なもの(負の場合)についてついでに示せてしまっても害はない(目的は少なくとも果たされる)ということで. 今のような場合は特にa,bを正に制限しなくても良いわけです.

用が足りるときは何も言わなくてもいいのですが, 本当に厳しい問題になってきて, 正のa,bに限定しないとうまく示せない場合は#1さんのおっしゃるように, k,mに過不足のない条件(制限)をつけて厳格に扱わないといけない事態も十分ありえます. そこが多分質問者さんの気になる点なのでしょうし，厳しい話だと確かに注意が必要です.

回答No.5

mozniac

一つ例を。
3≦4ってどう思います？
ヘンでしょうか？間違いじゃないでしょうか？
これって小学生くらいだと、「間違い」って言う子がいると思います。
確かに間違いではないのだけれど、3<4の方が自然ですよね。

みなさんがお書きのように、
a＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１(k,m：整数)
だと、a, b共に-1は含むものの３の倍数ではない自然数全てを表すことができるので、テスト・入試では減点の対象にはならないと思います。

上に出した例は今回の質問に直接当てはまるものではありませんが、vikkyiさんは数学に対して、非常に純粋な考えをお持ちだなぁと感じます。

「a＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１」を生かすのであれば、「(k,m：整数)」の代わりに、「(k,m：自然数)」としたらいかがでしょう？これだと矛盾は起こらないですよね。どうしても「(k,m：整数)」を使いたかったら、no.1の方のようにすればいいです。ちなみに私なら、前者で書きますね。

回答No.3

oshiete_goo

これまでの方の回答の補足です.

正の整数a,bがどちらも3の倍数でないことを，『"a＝3ｋ±１、b＝3ｍ±１(k,m：整数)"　の形に(適切にk,mと符号を選べば）全て表現できる』ということが大事なのであって，入れ物は足りていさえすれば(ちゃんと正の整数a,bを全部表現し切れれば)，大きい分にはかまわないのです（使わないkやmがあっても気にしないでよい）．

部屋と同じで，入れ物は，入りきれないと(はみ出るものがあれば)問題ありですが，大きい分には使わないところがあっても文句はないのです．

回答No.2

Singollo

すべての正の整数aに対しaが3の倍数でないとすればa=3k+1またはa=3k-1を満たす整数kが存在する、と言っているのであって、すべての整数kに対しa=3k-1を満たす正の整数aが存在する、と言っているわけではないと思います

回答No.1

nikorin

k,mという整数は問題を解くために自分で導入するものですから、
そのような矛盾がないようにk,m=0の時はマイナス符号はとらないと解答で
説明しておけばいいと思います。
それがいやであれば、a=3k+1 or 3k+2、b=3m+1 or 3m+2とおけばいいのではないでしょうか。（場合分けが大変そうですが。）