正しい背理法…？

質問

こんにちは、高校一年生です。
今使っている数学のテキストにこんな問題がありました。
a,b,cは整数とする、次のことを背理法を用いて証明せよ。

a^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち少なくとも１つは偶数である。

この場合、a^2+b^2=c^2ならばa,bの両方が奇数であればよいことを示せばよいと思ったのですが、
解答をみたら、まず初めにa,bを奇数と仮定し、そこからa^2+b^2=c^2との矛盾を示すと書いてありました。
これって結論→仮定の方向に進んでしまっていてあまりよくない解き方だと個人的に思うのですが…
どうなのでしょうか…？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

それは、「対偶法」です。
P(x)⇒Q(x) と notQ(x)⇒notP(x) は同値なので、
P(x)⇒Q(x) の代わりに notQ(x)⇒notP(x) を示しても同じこと。

その際、背理法を併用して、
notQ(x) と P(x) を同時に仮定すると矛盾する ことから
notQ(x) ならば notP(x) と結論してもよいのです。

P(x)⇒Q(x) と間違えて Q(x)⇒P(x) を示したわけではないので、
「結論→仮定の方向に進んでしまっていてあまりよくない」には
相当しません。

回答No.3

B-juggler

Ａｌｉｃｅ先生が書かれているからね、簡単にしか行かないけれど。

「背理法」って言うのは、先に正しいことは分かっている。

この場合は、　三平方の定理では　ａ，ｂ　のどちらかは偶数、

少なくとも片方が・・・。というのが分かっています。

のでそれを証明するために・・・・・・・・・・・・～～～～～～～～。

背理法を使っているだけね。

数学の証明は、結論が先にあることも多々あります。

　当たり前だと思うことでも、一応きちんと証明が必要なんです＞＜

逆に進むように見える、じゃなくて、これは結論ありき。

使ったって、別段何も問題ないよ。

ちょっと細かいんだけど、（奇数）＾２＋（奇数）＾２　＝　（整数）＾２

を解こうとしたの？

成立した？　しないからどっちかが偶数だ！　としてあげればいいわけね。

　＃ちゃんとやると、（左辺）＝（偶数）だね？
　＃（右辺）＝（整数）＾２　なので、　（奇数）＾２　が入りません。
　＃これはいいね？

例）　３＾２　＋４＾２　＝５＾２　なんかは

（奇数）＾２　＋（偶数）＾２　＝　（奇数）＾２　だよね？

念のためだけど、ダイジョウブだよね？？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

こういうのは大事だからね、分からなかったら、続けてここに質問挙げてもらって
構いませんよ。

回答No.2

Tacosan

そもそもその解答で仮定している「a,bを奇数」は「結論」じゃないから「結論→仮定の方向に進んでしまっていて」という指摘にはあたらなかったりします.

以下 #1 の通りなんだけど蛇足を追加してみる.

「背理法」というなら, 本当は
P → Q を証明するときに, 「P と not Q を同時に仮定して矛盾を導く」
のが正しいといえる.

今の例だと, もともとの命題に対して
P: a, b, c は整数で a^2 + b^2 = c^2
Q: a と b のうち少なくとも 1つは偶数
だから「まず初めにa,bを奇数と仮定し」は not Q に対応する. で, これと P を仮定して何らかの矛盾を導くことになる. どんな矛盾でもいいんだけど, ここでは「a^2+b^2=c^2との矛盾を示す」と書かれているから, 命題P に矛盾する (より正確には「P と not P が同時に成り立つから矛盾する」) ことを示しにいっている.

ただ, これは結局のところ「not Q から not P を導いている」わけで, だったら「対偶証明」:
P → Q を証明するときに, その対偶である not Q → not P を示せばいい
と何が違うかというと.... この例では (そして高校で出てくる「背理法」のたいていで) 大して違わなかったりする.