三角形の外接円の半径？

質問

子供に質問されています。
5cm、７cm、10cmの三角形の
外接円の半径の
求め方を
教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.7

info22 · ベストアンサー

#3,#4です。
3平方の定理だけ使って解く方法です。

△ABCの頂点の座標を
A(-5,0),B(5,0),C(x,y)とおき
外接円の中心D(0,-a)、外接円の半径Rとおくと
ここで、x>0,y>0,a>0,R>0
このとき
AB=10は△ABCの底辺、yは△ABCの高さとなります。

3平方の定理（ピタゴラスの定理）から
y^2=7^2-(x+5)^2=5^2-(5-x)^2
これを解いて

x=6/5, y=(2/5)√66…(■)

また、3平方の定理から
R^2=a^2+5^2=x^2+(a+y)^2

(■)のx,yを代入してaとRを求めると
a=(65/264)√66,R=(175/264)√66
と出てきます。

お礼

大変よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.6

colder

#5です
>「AHの長さを三平方の定理から求める」方法
BHの長さをxとすると、
AHの長さは、
三角形ABHより √(c^2-x^2) …(1)
三角形ACHより √(b^2-(a-x)^2) …(2)
(1)と(2)が等しいので、これよりxを求める。

>「三角形BHAと三角形ODCが相似である」理由
円の中心角の定理より
2∠HBA=∠AOC
また、三角形ODCと三角形ODAは合同なので、
∠HBA=∠DOC
角Hと角Dは直角
二つの角が等しいので三角形BHAと三角形ODCは相似。

参考URL：

http://thaler.blog.so-net.ne.jp/2006-10-04

回答No.5

colder

頂点Aから辺BCに垂線を書き交点ををHとする。
外心をOとし、辺ACの中点をDとする。
AHの長さを三平方の定理から求める。
三角形BHAと三角形ODCが相似であるので、
そこから外接円の半径が求まるはず。

お礼

ありがとうございます。
すみませんが、
「AHの長さを三平方の定理から求める」方法と、
「三角形BHAと三角形ODCが相似である」理由を教えていただけませんか？

回答No.4

info22

#3です。

図的に求めるなら、
直線定規とコンパスで
a=BC=5cm,
b=AC=7cm,
c=AB=10cm
の三角形を描いて下さい。

次に、コンパスを使って、ACとABの垂直二等分線を引き、その交点Dを求めて下さい。

そうすると、Dが外接円の中心になります。
そして外接円の半径Rは
R＝DA＝DC＝DBとなりますので
DA等の長さを定規で測ってRを出して下さい。

回答No.3

info22

分かる範囲のことを書いて、分からないことだけ質問して下さい。

ヒント）a=5,b=7,c=10として
１）余弦第2定理を使いcosCを求める
２）sinCを求める
３）正弦定理
２R=a/sinA
からRを求める。

余弦第2定理、正弦定理は教科書、参考書にありますから見て下さい。

お礼

ありがとうございます。

すみませんが
中学生の子供なので
「sin」や「cos」なしで
説明していただけませんか？

よろしくお願いします。

回答No.2

asapinya

図式でよければosamuyさんの通りです。
もし計算となると・・・

ヘロンの公式で三角形の面積を求める
10cmを底辺として高さを求める
高さと残りの２辺を使い逆三角関数（asin）で角度を求める
正弦定理から半径を求める

ということになるでしょうか。

回答No.1

osamuy

辺を二つ選んで、それぞれの垂直二等分線を交点を求めてください。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Construction/Draw01.html