0乗って

質問

aの０乗は１になるそうなのですが、その理由を教えてください。
またaが０の場合でもこの式は成り立つのでしょうか？

回答No.6

kooc · ベストアンサー

少し分かりにくいかもしれませんが・・・
ａ^０＝ａ^ｎ－ｎ　　と定義します。（ａ^ｎはａのｎ乗とする）
すると
ａ^０＝ａ^ｎ÷ａ^ｎ　　となります。
ならば
ａ^０＝ａ^ｎ/ａ^ｎ＝1　　
ａ^０=１　　
わかりましたか？

回答No.5

gootaroh

例外から説明するとややこしくなりますので、原則から説明します。
0乗は原則として「1」となります。

不思議ですよね？

2の2乗（2^2）というのは「2を2回掛けること」だから、2の0乗（2^0）とは「2を0回掛けること」なので、「2」か「0」ならまだ分かるけれど、よりによって「1」とは？しかもどんな数でも「1」ってどういうこと？

ということでしょう？私もそうでした。

「0回掛けること」という理解だと、とっても不思議ですが、ちょっと視点を変えてみましょう。順番にゆっくり理解してくださいね。

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32

これは大丈夫ですよね？

では、「（2^5）/（2^2）」って、いくつだと思いますか？
「32/4」のことなので、「8」ですよね？大丈夫ですよね？

この「8」というのは、よく考えると（2^3）のことですよね。

ということは、「（2^5）/（2^2）」のように、分母と分子が同じ「2^」の場合、答えは、分子の「^5」から分母の「^2」を引いた「2^3」となるわけです。ちょっとややこしいですが、ここまで大丈夫でしょうか？

ここまでご理解いただいた上で、次の式をやってください。「（2^5）/（2^5）」。これはどうでしょうか？

どうもこうも、分母と分子が同じなので、そもそも「1」ですよね。さきほどの考え方だと「^5」－「^5」で「^0」（0乗）です。

要するに、視点を変えると、「0乗」というのは、分母分子が等しい状態。つまり、2分の2（2/2）とか5分の5（5/5）などの状態なのです。

ですから、0乗というのは「1」になるのです。もう不思議じゃないでしょ？

例外はただ一つ。「0^0」。これは0/0ということなので、0÷0＝？だとして、これを掛け算に直すと、0×？＝0ということですので、？はどんな数値でも成立します（0に何を掛けても0ですから）。これを「不定」（答えが一つに定まらず）といいます。これだけは例外です。

ですので、ご質問にある
>またaが０の場合でもこの式は成り立つのでしょうか？

というのは、0^0のことですよね。例外のケースです。これはどんな数値でも成立するので、もちろん「1」でも「成立」はします。

ただし、「1」以外の他の数値でも同じように「成立」しますので、「1」に限定してしまうと、「答え」としては逆に「間違い」となります。正しくは「不定」です。

数学に詳しい方は、よく「そう定義されているから」という表現を用います。それはそれで完璧に正しいのですが、残念ながら素人向けの表現としては不適切なんですよね（素人には「定義する」の意味が分からないんですよ）。

回答No.4

Ishiwara

Ａの０乗を１と決めたのは、
公式１*****Ａの(Ｘ－Ｙ）乗＝（ＡのＸ乗）÷（ＡのＹ乗）
を、Ｘ＝Ｙ の場合にも成立させるための約束です。

しかし、例外として「Ｘ＝Ｙ、かつ、Ａ＝０」の場合には、
公式２*****０のＸ乗＝０
を優先させました。

公式１を優先させて
「０の０乗＝１」
としても、それなりに数学の体系を作ることはできたはずです。しかし、その場合、数学記述の中で「ただし書き」が非常に多くなる、とう不便が起こるでしょう。

回答No.3

arrysthmia

その理由は、「そう定義されているから」です。
0 乗せよ、2 乗にせよ、それは、
自然界に転がっていて誰かが発見したものではなく、
意味を定義して発明されたものです。
言葉の意味は、定義に従います。

a（a≠0） の 0 乗を 1 に決めておくと都合がよい
主観的な事情は、(a^x)(a^-x) = a^0 = 1 など
いろいろありますが。

回答No.2

sanori

こんばんは。

まずは、ａ＝５とした例を挙げます。

５^4　＝　６２５
５^3　＝　１２５
５^2　＝　２５
５^1　＝　５
５^0　＝　１
５^(-1)　＝　０．２
５^(-2)　＝　０．０４
このように、上から順に、５分の１されていくという規則性に注目すればよいです。

同様に、
ａが正の実数であれば、
ａ^4　＝　ａ^4
ａ^3　＝　ａ^3
ａ^2　＝　ａ^2
ａ^1　＝　ａ
ａ^0　＝　１
ａ^(-1)　＝　１／ａ
ａ^(-2)　＝　１／ａ^2
（上から順に、ａ分の１されていく）

＞＞＞aが０の場合でもこの式は成り立つのでしょうか？

これにつきましては、過去に何度か、ここのサイトのＱ＆Ａで取り上げられています。
結論から言えば、０÷０　と似ていて、「不定」になります。
http://oshiete.goo.ne.jp/search_goo/?status=select&MT=0%A4%CE0%BE%E8&nsMT=&ct_select=1&ct0=210&ct1=392&ct2=

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

orcus0930

a^1=a
a^2=a*a
a^3=a*a*a
……

となっていくわけです。
指数が1増えれば *a が行われ、
1減れば ÷a が行われることになるわけです。

a^0 は a^1 の指数が1減っているわけですから,
a^0 = a^1 ÷ a
なので、a≠0で
a^0=1となる。

ではダメかな?

指数関数の公理の中に
a^(x+y)=a^x*a^y
があるので
x=0,y=1を代入して
a^1=a^0*a^1
なので、a≠0でこの関係を満たすのは、
a^0=1のときのみ、
a=0なら、a^0は任意の数で成立するので、a^0は定義されていません。

これで納得してもらえましたかね?