解説が納得いきません

質問

とある出版社の受験生向け参考書の問題の中で以下のような問題がありました。

問）[ｘ]はn<=x<n+1をみたす整数ｎという意味である。に対し
[３ｘ]-[ｘ]＝４を解けという問題でした。
ちなみに。（０８’東京電機大）のようです。

この解説を読んでいくと解は　1<=x<3　となり、解説を読んでも納得でいません。
解説が間違えているのでしょうか？
もし、これであっているのなら詳しい解説をお願いします。
ちなみに、これってガウス関数として考えていいんですよね。

回答No.5

R_Earl · ベストアンサー

ANo.4です。解説を書いていただいてありがとうございます。
どうも見た感じだと、解説が間違っています。

> [3x]=3mのとき
> 　方程式は　3m-m=4
> 　よって　m=2　このとき2<=x<3

この解説では、『[3x] = 3mが成り立つための条件』が抜けています。
[3x] = 3mが成り立つためには、3m ≦ 3x < 3m + 1という条件が必要です。
3m ≦ 3x < 3m + 1を変形して、m ≦ x < m + (1/3)となります。

・m = 2
・2 ≦ x < 3
・m ≦ x < m + (1/3)

この3つの条件を満たすxの範囲は2 ≦ x < 7/3となります。

[3x] = 3m + 2のケースも同様の理由で駄目です。
[3x] = 3m + 2が成り立つには、3m + 2 ≦ 3x < 3m + 3（つまりm + (2/3) ≦ x < m + 1）という条件が必要です。
これを考慮すると5/3 ≦ x < 2となります。

[3x] = 3m + 1のケースに関しては、「[3x] = 3m + 1となるxは存在しない」となります。
こちらは解説の結論と一緒になります。

以上3つのケースから、答えは5/3 ≦ x < 7/3となるはずです。

xが正の数のとき、[x]は『xの整数部分』となります。
たとえば[1.8] = 1ですし、[5.2] = 5ですし、[π] = 3です。
この考えはxが正の数の時にしかできませんが（[-6.2] = -7なので）、
ガウス記号の問題に対しては大いに役立つ考え方です。
[x]はそのままxの整数部分にすれば良いのですが、
[3x]は『xの整数部分かける3』というわけにはいきません。
[x]はxの小数部分を無視しますが、[3x]ではxの小数部分の繰り上がりがあるからです。
x = 2.1の時、3xを計算しても小数点の繰り上がりは起こらないので[x] = 2, [3x] = 6となります(単純にxの整数部分の3倍が[3x])。
x = 2.4の時、3xを計算すると1/10の位から1繰り上がってくるので[x] = 2, [3x] = 7となります(xの整数部分の3倍に1加えたものが[3x])。
x = 2.7の時、3xを計算すると1/10の位から2繰り上がってくるので[x] = 2, [3x] = 8となります(xの整数部分の3倍に2加えたものが[3x])。
この『小数部分の繰り上がり』のせいで、問題が難しくなります。

ただ、裏を返せばこの『小数部分の繰り上がり』さえどうにかなれば、この問題は解けるということになります。
そこで、x = n + a（nはxの整数部分、aはxの小数部分）という風に整数部分と小数部分を分解して、
『aがどれぐらいの時に繰り上がりなしで、aがどれぐらいの時に1繰り上がって、aがどれぐらいの時に2繰り上がるのか』
ということを考えると、少し解くのが楽になります。

3倍して小数部分が繰り上がるかどうかの判定に関しては、実際に3倍してしまえばよいです。

0 ≦ 3a < 1なら、1の位への繰り上がり無し（0 ≦ a < 1/3）
1 ≦ 3a < 2なら、1の位への繰り上がりは1（1/3 ≦ a < 2/3）
2 ≦ 3a < 3なら、1の位への繰り上がりは2（2/3 ≦ a < 1）
ちなみにこれは、ANo.2の方の『0≦b＜1/3、1/3≦b＜2/3、2/3≦b＜1』という場合分けと一緒です。

よって、[3x]の値は
0 ≦ a < 1/3の時、3倍した時の繰り上がりはないので
[3x] = [3n + 3a] = 3n
1/3 ≦ a < 2/3の時、3倍した時の繰り上がりは1なので
[3x] = [3n + 3a] = 3n + 1
2/3 ≦ a < 1の時、3倍した時の繰り上がりは2なので
[3x] = [3n + 3a] = 3n + 2
となります。

> ちなみに、これってガウス関数として考えていいんですよね。

ガウス関数というと、y = e^(-x^2)の形をした、正規分布の確率密度関数の方を思い浮かべます。
[x]はガウス関数ではなく、ガウス記号だったと思います(本によっては[x]をガウス関数と書いているのかもしれません)。

回答No.9

take_5

x≦0の時は、〔x〕≧〔3x〕になるから不適。従って、x＞0の場合だけ考えると良い。
ガウス記号では、a－1＜〔a〕≦aであるから、3x-1＜〔3x〕≦3x　である。
〔3x〕＝n （nは正の整数）とすると、3x-1＜n≦3x　‥‥(1)　である。
〔x〕＝〔3x〕-4＝n-4であるが、n-4≧3とすると、〔a〕≦a＜〔a〕＋1より、〔3x〕＞nとなり不適。
よつて、0＜n-4＜3よりn＝5、6.　これを(1)に代入すると、5/3≦x＜7/3.

回答No.8

nious

#2ですが一応自分の解法を記しておきます。

言い換えると「[x]はxを越えない最大の整数」という事になります。

(1) 0≦b＜1/3のとき、[3x]-[x]=[3(a+b)]-[a+b]=(3a+0)-a=4 → a=2から 2+0≦x＜2+(1/3)
(2) 1/3≦b＜2/3のとき同様にして、[3x]-[x]=(3a+1)-a=4 → a=3/2(不適)
(3) 2/3≦b＜1のとき、(3a+2)-a=4 → a=1から 1+(2/3)≦x＜1+1
よって(1)(3)から、5/3≦x＜7/3

回答No.7

kgi03334

[x]＝x
ではなく、
[x]≠x
なのではないでしょうか。
だから、[x]＝mとおいて考えているのだと思います。
3[x]-[x]＝4
であれば、
2<=x<3が成り立つと思います。

回答No.6

Quattro99

その解説のように解くと、m=1または2となりますが、そうなるxの範囲を求める際に、
m=1のときは[x]=1かつ[3x]=5
m=2のときは[x]=2かつ[3x]=6
でなければならず、[3x]=5や[3x]=6の条件を考慮していないために答えがおかしいのではないでしょうか。

回答No.4

R_Earl

> この解説を読んでいくと解は　1<=x<3　となり、解説を読んでも納得でいません。
> 解説が間違えているのでしょうか？

その解説とはどのようなものだったのでしょうか？
それが分からないことには、答えられません。

ちなみに、「解説は合っているのに、最後の答えだけ間違っている(タイプミスした)」ということもあり得ます。
答えの方は間違っていると思います(x = 1で、[3x] - [x] = [3] - [1] = 3 - 1 = 2)。

ANo.2の方の回答のように、場合分けしないと答えは出ないと思います。

補足

解説をそのまま書きます。

[x]=m（mは整数）とおくと　m<=x<m+1
また、3m<=3x<3m+3であるから
　　　　[3x]=3m,3m+1,3m+2
[3x]=3mのとき
　方程式は　3m-m=4
　よって　m=2　このとき2<=x<3
[3x]=3m+1のとき
　方程式は　(3m+1)-m=4
　これをみたす整数mは存在しない
[3x]=3m+2のとき
　方程式は　(3m+2)-m=4
　よって　m=1　このとき1<=x<2

以上から、求めるｘの値の範囲は　1<=x<3

とあるのですが・・・・

やっぱりこれであっているんですか？

回答No.3

srafp

高卒（商業科）の頭だと、確かに解がおかしい。

［３Ｘ］－［Ｘ］＝４
［２Ｘ］＝４
［Ｘ］＝２

「ｎ＜＝ｘ＜ｎ+1」の条件から、ご質問文に有るように「ガウス関数」（ガウスの記号）と考える。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm
そうすると、［Ｘ］＝２となる範囲は２＜＝Ｘ＜３　になりますね。

回答No.2

nious

aを整数、また0≦b＜1/3、1/3≦b＜2/3、2/3≦b＜1
と場合分けしてx=a+bと置いて解いたら、5/3≦x＜7/3 になりましたが。

回答No.1

debukuro

中卒の乏しい脳細胞では
[ｘ]はn<=x<n+1をみたす整数ｎで
[３ｘ]-[ｘ]＝４
の解なら
X=2
しかないように思いますが
[３ｘ]-[ｘ]＝４
を満たすXの範囲を求めるとなると
1<=x<3
このようになると思います