y=x－[x]

質問

y=x－[x] の定義域をいえ。また、定義域における連続性をもとめよ

という問題で解説には
まず整数ｎについてｎ≦ｘ＜ｎ＋１とｎ－１≦ｘ＜ｎで、もとめてから

次に整数ではないa（ｎ＜a<n＋１）について
lim(x-b)=a－n

とやっているのですが、なぜaの範囲がｎ＜a<n＋１なのですか。
そしてlim(x-b)=a－n
となているのもよくわかりません、ガウス記号はどこへいってしまったのですか

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

任意の実数 x について、
その x に対して n≦x＜n+1 を満たす整数 n が存在します。
よって、そのような n を [x] と決めることができるのです。
これが、ガウス記号の定義です。

実数 a についても、 n≦a＜n+1 を満たす n が存在しますが、
a が整数でない場合は、a≠n なので、n＜a＜n+1 が成立しています。
n=[a] だから、a-[a]=a-n です。

lim(x-b)=a-n ？ b って何です？
それを定義しなければ、話が始まりませんよ。

x が整数となる場所で x-[x] は連続でない
ことを示したいのであれば、
考えるべきは、整数 m に対する lim{a→m}(a-[a]) でしょう。

lim{a→m+0}(a-[a]) = lim{a→m+0}(a-m) = 0　; n=m だから
lim{a→m-0}(a-[a]) = lim{a→m-0}(a-(m-1)) = 1　; n+1=m だから
より、 lim{a→m}(a-[a]) は収束しません。