不自然に見えて腑に落ちません。どなたか落としてください。

質問

不自然に見えて腑に落ちません。どなたか落としてください。
x^3-3x^2-x+4＝0の実数解はどのような連続する2整数n,n+1の間にあるか。
以下正解
f(-2)<0
f(-1)>0
f(1)>0
f(2)<0
f(3)>0
中間地の定理により(n,n+1)=(-2,-1),(1,2),(2,3)　ここまで

すでにお分かりかもしれませんがどうしてこんなにピンポイントに必要な数字を出せたか…
ということが納得いかないところです。
予め解を知ってなければ無理だと思いますし、
解が整数にならないので(x^3の係数が1なのに…)ちょっと難しいと思います。この場合は無理数かな？
あとこの程度の問題なら
0周辺からしらみつぶしに…
ってなると思いますがy切片が1000でx^3の係数が100とかだったらやる気がうせると思います。
→ということは何かうまいトリックがあるのでは？？
というのが自分の考えです。
でそのトリックを教えて欲しいです。
ちなみに高３です。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

トリックも何も…
「0 周辺からしらみつぶしに」
が可能な例だから、問題として出題し得た
ということではないでしょうか。

所詮は三次方程式だから、
全解を代数的に表示することも可能ですが、
そういう問題ではないような気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>「0 周辺からしらみつぶしに」
が可能な例だから、問題として出題し得た
ということではないでしょうか。

所詮は「解くために作られた問題」ということですね

回答No.5

nitho_t

3次のグラフがイメージできることを前提として、

x^3-3x^2-x+4=0からf(x)=x^3-3x^2-x+4として
f(0)>0からx=0は山か発散途中。
-3x^2-x+4に着目するとあまり大きくないxで谷がありそう。x=0を山と仮定して、
x^3-3x^2に着目すればx=3近傍で符号が変わりそう。

要するに全体のイメージと0近傍の値から着目箇所を変えて、符号が変わりそうな辺りがわかれば付近をしらみつぶし。

x^3の係数が100なら全体を100で割れば同じこと。y切片が1000なら10^3がイメージできれば符号が変わりそうな辺りを検討付けるのは難しくない。

コンピュータでやるなら当たりを付けた付近で2分探索。

お礼

ご回答ありがとうございます。

やっぱグラフですね。

回答No.4

koko_u_u

狭い範囲に解があれば、増減表を書いたりすれば「おおよその目星」はつきますが、
質問にあるように、解が左右にでろーんと広がると、増減表で目星をつけるのは難しいでしょう。

代数的に解を表現しても、それが実際に「いくつくらい」なのか情報を得ることはできません。

解に近い整数を得るには、ニュートン法のような計算を繰り返して、近似解に迫るしかないと思われます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ニュートン法はちょっとわかりませんが
近似解に迫る方法があるんですね。

回答No.3

spring135

微分をやっていれば」
定石通り関数の増減表を作って見れば一目瞭然です。
f(x)=x^3-3x^2-x+4
とおくと
f'(x)=3x^2-6x-1
f'(x)=0
とおくと
x=1-(2/3)√3で極大値1+(16/9)√3、x=1+(2/3)√3で極小値1-(16/9)√3となり
これとf(-2)<0
f(-1)>0
f(1)>0
f(2)<0
f(3)>0
を組み合わせて表を作り増加、減少の様子、値の正負を考慮して関数の概形を把握することができます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

グラフが正攻法ですね

回答No.1

nag0720

確かに予め解のおおよその値が分からなければピンポイントで当てることは難しいでしょうね。

３次関数のグラフを描いたことはありますか？

１階微分で極大極小の座標が分かります。
２階微分で変曲点の座標が分かります。
これからグラフが描ければf(x)=0の解が予測できませんか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

やっぱグラフ書くのが一番まともというか思いつきやすい方法でしょうか…