2^xと3^xの両方が有理数になるような整数でないxは存在しますか?

質問

2^xと3^xの両方が有理数になるような整数でないxは存在しますか?

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

これは未解決問題に関連してるように思われますね。
次の予想が知られています（リーマン予想と同じく正しいと思われている）：
{log p}_{p :primes}は代数的に独立

例えばこの予想が正しいとすれば次が成り立ちます：
p_1=2,p_2=3,p_3=5,...、Nを自然数とするとき、
「もし2次の整数係数多項式PがP(log p_1,log p_2,...,log p_N)=0を満たしているならばP=0」

さて質問の問題は以下のように書き換えることが出来ます：

「ある実数αが存在して
α(log 2)=a_1 (log 2) + a_2 (log 3) + Σ_{m≧3} a_m (log p_m)
α(log 3)=b_1 (log 2) + b_2 (log 3) + Σ_{m≧3} b_m (log p_m)
ここでa_m,b_mはすべて整数で有限個のmを除いてすべて0」

最初の式に(log 3)をかけて、二番目の式に(log 3)をかけて両辺差をとれば次が得られます：

(a_1-b_2) (log 2)(log 3) + a_2 (log 3)^2 - b_1 (log 2)^2 + ...

ここで...の部分は(log p_m)(log 2)、(log p_m)(log 3)、m≧3からなる2次整数係数多項式です。

上の未解決問題が正しいとすればa_1=b_2,その他はすべて0となります。これはαが整数でなければならないことを示しています。

このようにおそらく有名な未解決問題の一部が背景に含まれていると思います。まあもちろん同値ではないかもしれないので独立に証明できるかもしれませんが今のところ分かりません。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

とりあえず、2^x や 3^xが有理数になるのは、ゲルフォント＝シュナイダーの定理から、xが超越数のときだけですね。
そこから後は、、、わかりません。