対数関数

質問

お世話になっております。
導き方がわからないので教えていただきたいです。

底がa,真数がbのときは、
log[a]b
と書くこととします。

問題
a>1,b>1,c>1のとき
log[a]b+2log[b]c+4log[c]aの最少値を求めよ。

回答(解説なし)
最小値6 a^2=b=c=の時

導き方よろしくお願いします。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

このくらいは簡単に解いて欲しいね。。。。。。笑。

各々の常用対数をとり、loga＝x、logb＝y、logc＝zとするとa>1,b>1,c>1より、x＞0、y＞0、z＞0.
従って、相加平均・相乗平均を使うと、（y/x）＋2*（z/y）＋4*（x/z）≧3（3）√8.　（3）√8＝2であるから、（y/x）＋2*（z/y）＋4*（x/z）≧6.　等号は、（y/x）＝2*（z/y）＝4*（x/z）の時であるから、a^2＝b＝cの時。

お礼

回答ありがとうございます。

自分も相加相乗平均を使った（つもり？）ですが、２以上になって、違うのかなと思ってしまいしまた。
分母の３を忘れていたのです。

ありがとうございます。

回答No.2

take_5

別解を示しておく。ちょっとした機転が必要だが。。。。笑

各々の常用対数をとり、loga＝x、logb＝y、logc＝zとするとa＞1、b＞1、c＞1より、x＞0、y＞0、z＞0。

ここまでは同じだが。。。。

与式をＰとすると、Ｐ＝（y/x）＋2*（z/y）＋4*（x/z）＝（y/x＋z/y）＋（z/y＋4x/z）＝（√（y/x）-√（z/y））＾2＋（√（z/y）-2√（x/z）））＾2＋6≧6。
等号は、√（y/x）-√（z/y）＝0、√（z/y）-2√（x/z）＝0の時。
結局、等号は、a^2＝b＝cの時