対数の性質について

質問

e^logx=xという公式のようなものがありますが、どうしてこうなるのか分かりません。
logは真数になるために底をa乗したときのaであると理解していたのですが、どうも上の式では理解できません。アドバイスよろしくお願いします。

回答No.4

alien55 · ベストアンサー

>logは真数になるために底をa乗したときのaであると理解していたのですが・・・・

そうです、では、それに従って考えましょうか。
logxの底はeですね。
rockman9さんの言葉から発展させていきます。

真数xになるために底eをa乗したときのaがlogX・・・(*)

この(*)を数式で言い表してください。すると、こうなります。

まず「真数xになるために底eをa乗したとき」とは、
真数x＝e^a・・・(**)
ということですね。そのaがlogxなんですから、a=logxを(**)に代入すれば、
x＝e^logx
で、問題の公式になりましたね。
つまり、rockman9さんはご自分で答えを言いながら、その意味を認識していなかっただけですので、理解できていないのではなくて、理解しているご自分を認識していなかっただけです(笑)

問題の公式e^logx=xは、公式というか、eの定義式だと思ってもよいと思います。

この公式の理解の仕方として、他に2通り([1]と[2])示します。

[1]等式e^logx=xが成り立つことを示せという証明問題の立場で・・・

左辺－右辺＝0 を示すことは、
log(左辺)-log(右辺)=0・・・・(※)
を示すことと同値である（∵logxは単調増加関数）から、(※)が成り立つことを示す。
log(左辺)-log(右辺)=log(e^logx)-logx
=logx-logx (∵log(e^b)=b 対数の基本的性質)
=0
従って、(※)が成り立ったので、等式e^logx=xも成り立つ

[2]逆演算の性質から
ある関数fがあって、
y＝f(X)のとき、X＝g(y)・・・・(※※)
であるような関数gを、fの逆関数という。
f(x)=e^xとすると、その逆関数gは、g(x)＝logxである。
なぜなら、y＝e^xのとき、x＝logyが成り立つからである。
fとその逆関数gは、(※※)より次の性質を満たす。
f(g(x))=x
f(x)=e^xについて、この式を書くと、
f(g(x))=f(logx)=e^logx=x
問題としていた公式e^logx=xは、逆関数が満たす性質(※※)に他ならないということです。

お礼

おっしゃる通りです...自分で答えを言っててそれに気づかないとはまだまだ未熟です。
逆関数についても少し知識がついたのでよかったです！どうもありがとうございます！

回答No.5

frage

ご質問にある log は、自然対数（底が e）であると解釈して説明します。そうでないと e^logX=X は成立しません。もし常用対数（底が 10）でお考えでしたら、理解が混乱しても無理はないと思います。（失礼がありましたらお許し下さい。）

◆次のように理解なさってはいかがでしょうか。分かり易くするため、常用対数の世界で考えます。
◆今、X=1000　とします。そうすると、logX=log1000=3 となります。
◆これをご質問の式の左辺にあてはめると、底が　10　で考えていますから、e に相当するのは　10 であることから、10^logX=10^log1000=10^3=1000=X　となります。
◆すなわち　10^logX=X になります。
◆このことは、底が　e　である自然対数でもおなじです。

別の考え方もあります。

●ご質問の式の両辺の自然対数を取ります。
●そうすると　左辺：logX x log(e) 右辺：logX　ただし、真ん中の x は掛け算記号です。
●自然対数ですから　log(e)=1 すなわち　左辺＝右辺
●つまり　e^logX＝X

これでいかがでしょうか。お役に立てば幸いです。

お礼

非常に明快なお答えを頂きありがとうございます！
とてもわかりやすかったです！

回答No.3

KENZOU

蛇足ながら。。。
ｅを底とする対数を自然対数と呼んでいます。10を底とする対数は常用対数と呼ばれます。さて、底を[]で表すと
　log[e]A＝B　(1)
という関係は
　e^B＝A　(2)
となります（←対数の定義）
問題のe^logx=xの式（logの底はe）が成立するのかどうかをチェックしましょう。この式を(2)に当てはめると
　B=log[e]x、A=x　　(3)
となりますね。これは(1)に戻ると
　log[e]x=log[e]x
とおなって、確かに(2)が成り立っていることが解ります。

お礼

どうもありがとうございます！

回答No.2

nabla

ついこの前に同様の質問がありましたよ。

参考URL：

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=874362

お礼

失礼しました...

回答No.1

gator

対数の定義そのものです。

すみません。
>logは真数になるために底をa乗したときのaである
の意味がわからないのですが、

logの定義は、
底(ここではeですね)を何乗かするとXになる時の、「何乗か」が
logXです。

したがって、eのlogX乗はまさに、Xなのです。

以上

お礼

どうもありがとうございます！