対数関数について

質問

対数関数の法則で
log e(A*B) = log e(A) + log e(B)
（eは底です）
というのは、
指数関数のe^A * e^B = e^(A+B) ということから
感覚的にすぐ分かるのですが、

底の変換公式
log a(b) = log c(b) /log c(a)
これを指数関数で言うとどんなかんじでしょうか？
底の変換公式の証明は知っています。
感覚的にCがどこから出てくるかが
なんとなくもやもやします。

回答No.6

178-tall

>底の変換公式　log a(b) = log c(b) /log c(a)　これを指数関数で言うとどんなかんじでしょうか？

log_a(b) = s は、a^s = b　ということ。
また、
　log_c(b) = t → c^t = b　　…(1)
　log_c(a) = u → c^u = a　　…(2)
だろう。

(2) を使うと　b = a^s = (c^u)s　だが、(1) を見るとこれは　c^t　に等しい。
これは、b = a^s = (c^u)s = c^(us) = c^t　だということ。

ならば　us = t　つまり　s = t/u 。
(1), (2) でいうと　s = log_a(b) = t/u = log_c(b)/log_c(a)　という「かんじでしょうか」。

回答No.5

shuu_01

No.2 ですけど、引用したサイトでは
a、b、c が入れ替わっていたので、
ちゃんと計算しなおしてみました：

c^log[c] a （定義から a になります） を　 log[a]b 乗 すると

（c^log[c] a）^log[a]b ＝ c^log[c] a・log[a]b

a^log[a]b ＝ c^log[c] a・log[a]b

b ＝ c^（log[c] a）・log[a]b ）

底を c とする対数をとると

log[c] b ＝ log [c] ｛c^（log[c] a）・log[a]b ｝

log[c] b ＝ log[c]a・log[a] b

log[a] b ＝ log[c] b / log[c] a

回答No.4

noname#199771

証明方法を質問されているわけではなくて
対数の世界でいう底の変換を指数の世界
でいうとどういうことかということですよね？

最初にaとxが与えられていて、b=a^xとします。

（★）a^x=c^y

のようにcのベキの形にしたらyはどうなるか
ということを考えます。

上の（★）はいかにも「底の変換」ですよね？

------------以下は蛇足-------------
実際、
y=log c(a^x)=log c(b)
y=log c(a^x)=x log c(a)=(log a(b))(log c(a))
なのでlog c(a)で割って対数の底の変換公式
が得られます。

回答No.3

kanemoto_s

公式に条件がついてますよね。
c>0, c≠1である任意の実数だったと思います。
いろいろなｃで実際計算・演習してみませんか？必要に応じてグラフを書いて考えることも理解に繋がります。
c=1の時やc=0の時なども計算してみると意味が分かってくるのではないかと思います。

任意の数について⇒どのような数であっても

回答No.2

shuu_01

対数の基本公式と，底の変換公式
http://www.minemura.org/juken/taisu_seishitsu.html

に載っていた説明です

これを a を底にした対数をとると

log a(b) ・log b(c) = log a(c)

log b(c) = log a(c) /log a(b)

となります

今回の質問と a、b、c が入れ替わってますが、
入れ替えれば良いだけです

回答No.1

gohtraw

どこからというより、底の条件を満たしていればｃは何でも
いいのです。目的に応じて都合のいい値をｃとすればいいのです。