三角関数の加法定理発見のきっかけ

質問

ほかの定理でも同じなのでしょうが、本定理の発見には何かきっかけあるいは動機があったのでしょうか。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

あくまで想像です
＃すこし調べれば人に聞くまでもなくこれくらいの想像はできるはず
＃自分で考える習慣を．

sin(90+x)=cos(x)
cos(90+x)=-sin(x)
なんだから，もっと一般に
sin(x+y), cos(x+y)
を知りたくなっても不思議ではない．
実際のところは計算したいという実務的な要求があったのかな．

そもそも三角比は図形的には単なる相似比にすぎず，
xとyを鋭角とする直角三角形を「つなげれば」
x+yを鋭角とする直角三角形を作ることは容易であり，
図形的に三者（x,y,x+yの比とでもいうべきもの）を結びつけることは
古代ギリシアのあの卓越した図形の取り扱いを考えれば
容易だったと思う．
＃古代ギリシアですでに加法定理は既知だったと思うし
＃有名な図による証明もある

三角比=>三角関数=>波とすすんで，
「波の重ね合わせの原理」が物理的に納得できれば
sin(x+y)も波だし，波はsinとcos（位相のずれだけだから本質的には同じだけど）だから、sinとcosの組合せでなんとか表現できるのではと予想するのも自然だと思う．
実際，
sin(x+y)=Acos(y)+Bsin(y)とおいて
A,Bを求めてみると加法定理の形はでてくる．
（y=0とすることで，sin(x)=A, y=90でcos(x)=sin(x+90)=B)
＃三角関数で「すべての関数が表現できる」って発想が
＃フーリエ解析の始まりだって話もあるしね

お礼

明快なご教示を心より感謝いたします。私にはとても考えつかない素晴らしく思われる高級な内容でした。
自分で考える習慣は心がけているつもりですので、お許しを頂きたいと存じます。勉強させていただきます。

回答No.2

noname#101087

プトレマイオス(トレミー)著「アルマゲスト」(ゲームの名前じゃありません。天文学書です)にある「弦の表」が最古の三角関数表だといわれてます。
「弦の表」を作るとき使われた「トレミーの定理」は、加法定理に相当するものです。(下記 pdf の 4頁目を参照)
　　http://homepage2.nifty.com/cakravala/achordtable.pdf

お礼

大変為になるサイトをご紹介いただきありがとうございました。勉強してみます。