解と係数の関係の応用

質問

自分は塾講師をしているのですが、高２の生徒に聞かれた問題がわからないので教えていただければと思います。

問題
実数x,y,zについて、x+y+z＝0,xyz＝2であるとき、zのとりうる値の範囲を求めよ。

答えは、「z＜0,2≦z」です。

タイトル以外の解法もしくわヒントのみでもかまいませんので、どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.5

nettiw · ベストアンサー

解と係数の関係は、
AX^2+BX+C=0 (A≠0)において、　α+β=-B/A, αβ=C/A,だけではなく、
　α、βを２解とする２次方程式は、
(t-α)(t-β)=0 より、
t^2-(α+β)t+αβ=0　これも解と係数の関係です。
と言うより、こっちの方が何かと都合がいいです。

>>　場合分けは必要なのでしょうか。>>　答えの形は（１）から得られる。
zt^2+(z^2)t+2=0 としたのであれば、
a=z, b=(z^2), c=2 の誤植はいいですが、
z≠0　を言明しないと・・・。省略したのかもしれませんが。
もう解いてしまっているようですが、
（２）からでもいいので書いて見ます。（同じことになります。）

>> x+y+z=0,,,xyz=2
前式より、x+y=(-z)・・・（Ａ）
後式より、明らかに　z≠0・・・（P）　なので、xy=(2/z)・・・（Ｂ）

解と係数の関係より、t^2-(x+y)t+xy=0
（Ａ）（Ｂ）を代入して、t^2-(-z)t+(2/z)=0
実数条件より、　z^2-4(2/z)≧0
分数式のままでもいいですが簡素化し不等号の向きを考慮しなくてもいいように、
両辺にz^2をを掛けて、z{z^3-8}≧0、因数分解して、z(z-2)(z^2+2z+4)≧0
z^2+2z+4=((z+1)^2)+3＞0 より、両辺をz^2+2z+4で割って、
z(z-2)≧0
z≦0, 2≦z・・・（q）

（p）（q）より、　z＜0, 2≦z　　...　。

お礼

ありがとうございます。

回答No.6

take_5

情けないね。勿論、大学生だからといって、高校数学が全て解けるとは思わないが、この程度の基本的問題も解けないとはね。
余程優秀な高校生でない限り、教えられる方は教える方のレベルを越える事は出来ない。高校生が可哀想だね。

何も、解と係数の関係だけが解法ではない。

x+y+z＝0より、x＝-（y＋z）をxyz＝2に代入して整理すると、z*y＾2＋z＾2*y＋2＝0.
xyz＝2より明らかに、z≠0より、この方程式はyの2次方程式。
yもzも実数から、判別式≧0.
結果は、判別式＝z*（z-2）*（z＾2＋2z＋4）≧0であるが、zは実数であるから、z＾2＋2z＋4＞0.
従って、z≧2、or、z＜0.

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

koko_u_

人の補足に回答して申し分けないのですが

>判別式で解いたところ、答えの形は（１）から得られることがわかったのですが

Neptune23 さんが「解と係数の関係」についてまったく理解できていないことがわかったので、
生徒さんには数学のわかる別の先生に聞くように答えておいて下さい。

回答No.3

koko_u_

最後の文章は Neptune23 さんが考えた内容が質問欄に一切書かれていなかったことへの皮肉です。

ANo.2 にあるように、この問題は初歩的な目眩しです。ちょっとヤバいですよ。

回答No.2

R_Earl

x + y + z = 0 ⇒ x + y = -z
xyz = 2 ⇒ xy = 2/z

こうすれば、『解x, yを持つ二次方程式の解と係数の関係』となります。
あとはx, yが実数であることに注目すれば解けると思います。

お礼

ありがとうございます。

補足

『解x, yを持つ二次方程式の解と係数の関係』より、b/a=z , c/a=2/zとなって、ここから
（１）a=z,c=2
（２）a=1,b=z,c=2/z

判別式で解いたところ、答えの形は（１）から得られることがわかったのですが、上のような場合分けは必要なのでしょうか？
御回答よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

数学の講師なんですか？
まったくわからないのですか？
生徒から質問を受けた時、あなたは生徒に「どこまで考えたのか」聞かないのですか？

補足

塾講師と言いましても大手ではなく地元にある小さな個別の塾で、自分はアルバイトで講師をしています。現在大学３年です。（塾講師という言い方には語弊がありましたことをお詫びいたします）

もちろん自力で解こうと努力しましたが、わかりませんでした・・・。

生徒のレベル（こんな言い方はしたくないのですが）はピンきりなんですが、その子が今通っている高校は自分（生徒）の学力より少し高いところです。もちろん初めに自分で考えたかどうか聞きましたが、その子は全くわからないようです。

自分の説明不足・学力不足が多分にありますことをお詫び申し上げます。すいませんでした。
どうかご協力いただけますようよろしくお願いいたします。