因数分解のポイント

質問

因数分解するときになぜもっとも次数の低い文字に注目すると有効なのでしょうか？その理由を教えてください。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

基本的には＃１，２でお答えの通りです。
１つ例をあげて説明します。

x^3-ax+a-1　をｘの３次式と見て因数分解しようとすると
ｘ＝１を代入して０になるからｘ－１という因数がある、という
因数定理を知らなければいけません。

ａについて１次式だから、整理して
-a(x-1)+x^3-1　とすれば
(x-1)　と　(x^3-1)　の間に共通因数が無いと因数分解できない。
だからx-1が因数だ、と自然にわかってしまいます。
後の処理も簡単でしょう。

付け足し
「共通因数」という言葉については＃１，＃２お二人の間で解釈の
違いがあるように思います。式変形をすれば因数分解できるのなら
必ず共通因数は作れます。
（多項式）（多項式）でも
ｘ^2＋3x+2＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝ｘ（ｘ＋２）＋（ｘ＋２）
の形だと思えば共通因数はあります。
どの形で（何と何の）共通因数といっているかだけです。

お礼

＞ａについて１次式だから、整理して
-a(x-1)+x^3-1　とすれば
(x-1)　と　(x^3-1)　の間に共通因数が無いと因数分解できない。
だからx-1が因数だ、と自然にわかってしまいます。

どうもレスしていただいて恐縮です。すみません、NO,1、NO,2の方にも同じような質問をしたのですが、「(x-1)　と　(x^3-1)　の間に共通因数が無いと因数分解できない。」がちょっと素直に受け入れられません。どういう風な考えが潜んでいるのですか？

回答No.4

shinnopapa

＞こんにちは！次数の低い方が因数分解しやすいと言うことはいいのですが、なぜ次数の低い文字でもおなじように因数分解できるのかということがわかりません。

それは因数分解できる問題であるからです。

例えばある問題で、ｘについては３次式で、ｙについては２次式としましょう。
因数分解された結果はｙの入った式が２つと、ｘの入った式が３つになっているはずです。（重複の可能性あり）ここでｘを定数と見たら、ｙについて２次式の因数分解ができているはずなのです。
ｘについての３次式と見ても因数定理でできるはずですが、因数定理を使わねばならず難しいです。

お礼

どうもありがとうございました。因数分解の仕組みがわかりました。
さっそくでてきたら使ってみようと思います。これだと楽にできそうですもんね♪
どうもです！

回答No.2

shinnopapa

次数の低い式の方が因数分解しやすいからです。
２次式では、いわゆる「たすきがけの因数分解」ができますが、３次式以上の「高次方程式」では、因数定理を使わなければならないことがあります。

#1の回答では、「必ず共通因数があるハズ」とありますが、因数分解の問題で、多項式×多項式が答えになる場合は、共通因数が存在しない場合もあります。

お礼

こんにちは！次数の低い方が因数分解しやすいと言うことはいいのですが、なぜ次数の低い文字でもおなじように因数分解できるのかということがわかりません。

回答No.1

oshiete_goo

一言で言うなら, 因数分解できる問題である限り,必ず共通因数があるハズだからです.
例えば, Xについての(見かけの)1次式ならば

(与式)＝(Xの係数)X＋(Xを含まない定数項)

の形になって, (Xの係数)と (Xを含まない定数項)に必ず共通因数があるハズだからです.(でないと,決して因数分解できない.)

お礼

こんにちは！どうもありがとうございます。すみません、お話はわかりやすくて理解できるのですが、「(Xの係数)と (Xを含まない定数項)に必ず共通因数があるハズ」というのにいまいち確信が持てません。そうなりそうだと言うことはわかるのですが・・。どう考えればよいのでしょうか？