因数分解に悩んでます

質問

因数分解に悩んでます
問題を解く上でどこに注目すれば良いのかわかりません
自分の注目する場所に自信が無く、何も出来ないまま終わるオチが多いです
例えばx2-xy-6y2+x+7y-2と言う問題
文字の後にある数字は累乗の数字として見てください
コツを教えて下さいもう限界です

回答No.9

nihonsumire

回答者の方々とほぼ同じですが、回答させていただきます。このタイプは、
x^2 -xy +x - (6y^2-7y+2)　　←この形にすることがポイント
という形にすればおおよそできます。後ろの（）内が因数分解できれば、まず間違いなくできると確信していいです。後ろの（）内を因数分解し、真ん中をxでくくると
x^2 -(y-1)x -(2y-1)(3y-2)
となります。あとはたすきがけです。
　このタイプの因数分解の類題をたくさんやると、コツが分かってくると思います。

回答No.8

noname#227255

ANo.6への補足に対する追加回答です。

まず、「なぜそれら（式(2)と(3)）を合わせる事が出来るのか？」とのことですが、それぞれの式における定数部分（定数項）に着目した上で、因数分解の結果式（答え）が、x=0とすると式(1)または(3)に、y=0とすると式(2)になるように、うまく組み合わせた（導き出した）のです。
そして、実際に、因数分解の結果式（答え）： (x-3y+2)(x+2y-1)では、x=0とすると式(1)または(3)に、y=0とすると式(2)になる訳です。
逆に言うと、x=0とすると式(1)または(3)になり、y=0とすると式(2)になるものは、これしか存在しないということです。
仮に、他にも存在するのならば、因数分解の結果式（答え）が複数存在するというおかしなことにもなります。

次に、「なぜそれが正解なのか？」ということについては、この結果式（答え）を展開すれば、与式と一致するので、この考え方が正しいことは明らかです。

また、既にANo.6で触れたように、結果式（答え）を展開するまでもなく、ANo.6ではx=y=1としましたが、ここではx=2、y=3としてみると、
与式=2^2-2*3-6*3^2+2+7*3-2=4-6-54+2+21-2=-35
結果式=(2-3*3+2)(2+2*3-1)=(2-9+2)(2+6-1)=(-5)*7=-35
となって、やはり式の値は一致しますので、結果式（答え）が正しいとの確証が得られるかと思われますが、如何でしょうか。

回答No.7

asuncion

xの降冪に整理した
x^2 - (y - 1)x - 6y^2 + 7y - 2 ... (1)
を(x - α)(x - β)に因数分解できるとすると、これを展開した
x^2 - (α + β)x + αβ ... (2)
の(1)(2)の係数を比べて、
α + β = y - 1 ... (3)
αβ = -6y^2 + 7y - 2 ... (4)
となることは理解できますか？
(4)より、αとβの積が-6y^2 + 7y - 2ですから、-6y^2 + 7y - 2が
(ay + b)(cy + d)の形に因数分解できることが期待されます。ここまではいいですか？
たすきがけの方法を使って、-6y^2 + 7y - 2 = (3y - 2)(-2y + 1)と因数分解できます。
ここまではいいですか？
(4)より、αβ = -6y^2 + 7y - 2 = (3y - 2)(-2y + 1)ですから、
α, βの片方が3y - 2, もう片方が-2y + 1となります。
(3)にあてはめてみると、α + β = (3y - 2) + (-2y + 1) = y - 1となり、勘定が合っています。
ここで勘定が合わなければ、-6y^2 + 7y - 2の因数分解の際に符号の付け方が
正しくないことが考えられます。例えば(-3y + 2)(2y - 1)のように。この場合、
因数分解としては正しいのですが、α + βの結果が正しくならないので、解として
採用することはできません。
さて、α, βの片方が3y - 2, もう片方が-2y + 1となることがわかったので、元の式は
(x - α)(x - β)
= (x - (3y - 2))(x - (-2y + 1))
= (x - 3y + 2)(x + 2y - 1)
と因数分解できます。

補足

とりあえず理解しました
が凄く難しいですね
構造が複雑で前半部分はマスターしましたが後半は符号があやふやになるせいでいつもミスしてしまいます
父親にもよくからかわれます
お前いっつも最後の最後で間違えんのなとか言われます
これからさらに難しい問題が出てくるとなると自信を無くします
しょうもない愚痴言ってすみません
どうしても吐き出したかったです
回答ありがとうございました！

回答No.6

noname#227255

他の回答にもあるように、与式をxまたはyについての2次式と考えることが基本かと思われますが、次のようにもっと簡単に考えることができます。
なお、『たすきがけの方法』についての説明は省略します。

与式において、x=0とすると、
-6y^2+7y-2=-(6y^2-7y+2)=-(3y-2)(2y-1)－(1)

与式において、y=0とすると、
x^2+x-2=(x+2)(x-1)－(2)

式(1)と(2)において、定数部分に着目すると、-1は共通ですが、-2と+2では符号が異なるので、式(1)をさらに次のように変形します。（式(1)は、最初から次のようにしてもいいのですが、-をくくり出しておいた方が分かり易いです。）
-(3y-2)(2y-1)=(-3y+2)(2y-1)－(3)

後は、式(2)と(3)を考え合わせて、
(x-3y+2)(x+2y-1)
これで完成です。
この式では、x=0とすると式(1)または(3)に、y=0とすると式(2)になります。

また、結果式が正しいかどうかの確認は、結果式を展開して与式と比較するまでもなく、簡単な数値で例えばx=y=1とすると、与式と結果式が共に0となるので、まず間違いありません。

補足

回答ありがとうございます
すみませんが「(2)と(3)を合わせて」の意味がわからないです
なぜそれらを合わせる事が出来るのか？
なぜそれが正解なのか？
を教えて頂けないでしょうか
数学に関してはバリバリの初心者ですがやる気はあるので是非回答お願いします

回答No.5

qwe2010

x2-xy-6y2+x+7y-2
これは
（○○○）×（○○○）＝　
Ｘの2乗がありますのでどちらの（）にもＸがはいります。
Ｙの2乗がありますので、同じくどちらの（）にもＹがはいります。
数字の2がありますので、どちらの（）にも数字ががはいります。

Ｘの2乗が＋１ですね、これは＋×＋＝＋になります、－×－も＋になります。
最初にＸの2乗は１なので、仮にＸ＋１として、話を進めていきます。

Ｙの2乗が、マイナス6になっています。
これで考えられるのが、（－１）×６、　　１×（－６）、　（－２）×３、　２×（－３）
Ｙの前に来る数字は、このどれかになります。

数字が－２になっています。
（－１）×２、　　１×（－２）どちらかです。

次に注目するのが、－ＸＹです。　Ｘと、Ｙを掛けた数字が二つできますがこれをたすと-1になるには、Ｘは＋1として考えていますから、Ｙに注目します。
上記のＹ中から、-1になる数字は２×（－３）　Ｘが＋１、Ｙが２と、－３
つまり（1Ｘ×２Ｙ）＋〔1Ｘ×（－３Ｙ）〕にすると－１ＸＹがでます。

これまでに分かったことは、（Ｘ＋２Ｙ）（Ｘ－３Ｙ）です。

最後の数字は＋Ｘ＋７Ｙ－２を見ます。
数字が-2になるのは、（－１）×２　　又は１×（－２）です。
Ｘが＋1になっていますから、（－１）×２　の方だと分かります。
Ｙの前が＋7になっています。（Ｘ＋２Ｙ）（Ｘ－３Ｙ）の＋２Ｙと－３Ｙに注目して

数字が（－１）×２　
Ｙが　　＋２Ｙと－３Ｙ　　
上記の両方を掛けて、たした組み合わせで＋７の数字になるのは、
＋２と２Ｙを掛けた数字＋－１と-3を掛けた数字です。
形として〔（＋２Ｙ）－１〕×〔（－３Ｙ）×２〕
これで＋２Ｙの方が-1の数字で　－３Ｙの方が＋2であることが分かります。

回答は（Ｘ＋２Ｙ－１）（Ｘ－３Ｙ＋２）

これは余談ですが、Ｘを両方＋として考えましたが、マイナスの場合。
両方の（）内に-1を掛けて見ましょう。
（-1）×（-1）＝＋1です
〔（Ｘ＋２Ｙ－１）×（－１）〕〔（Ｘ－３Ｙ＋２）×（－１）〕
（－Ｘ－２Ｙ＋１）（－Ｘ＋３Ｙ－２）

数学の基礎になるところです。
練習問題を、たくさんして、頭の中を整理してください、考えなくても答えが出るくらいにしていないと、すぐに忘れてしまいます。
そうしないと、数学が分からなくなりますよ。

回答No.4

asuncion

さっきの回答では、xに関する2次式だと思うことにしていました。
なので、xに関する降冪で整理して、
xの2次の項：x^2
xの1次の項：-xy + x = (-y + 1)x
xの0次の項：-6y^2 + 7y - 2 → ここにはxに関する項がないので、xで整理する際には定数項扱い
としていました。
「yについて整理してもいいけど」と書いたのは、こんな風にもできるからです。
yの2次の項：-6y^2
yの1次の項：-xy + 7y = -(x - 7)y
yの0次の項：x^2 + x - 2 → ここにはyに関する項がないので、yで整理する際には定数項扱い
これを因数分解するには、かけて-6となるような2数を見つけ、かけてx^2 + x - 2となるような2式を見つけ、たすきがけして得られた結果が-(x - 7)になればよいということになります。
かけて-6になる一例として-3, 2があります。
かけてx^2 + x - 2になるのは(x + 2)(x - 1)です。
これらをうまくたすきがけしてみましょう。慣れないうちは試行錯誤が必要。
-3 x + 2
2 x - 1
たすきがけした結果の和は、-3(x - 1) + 2(x + 2) = -x + 7 = -(x - 7)
うまくいった。
よって、因数分解の結果は(-3y + x + 2)(2y + x - 1)
xについて整理したときと比べて、xとyの順序が異なっていますが、結局同じこと。

補足

2時間ぐらい試行錯誤しても意味不だったので挫折しました
愚痴言ってすみませんまた頑張ってみます
回答どうもです

回答No.3

noname#231195

まず最初に、これが因数分解できるなら、
(x+ay+b)(x+cy+d)
という形になるはずだ、と気が付くとよいです。
どっちのxにも係数がないとわかるのは、開いた後のx²の項に係数がないからです。

あとは、a、b、c、dの組み合わせを考えていくだけです。
まず開いた後に-2という風になるのですから、bd=-2ですね。
どっちがどっちかわかりませんが、(-1,2)か(1,-2)という組み合わせでしょう。

また開いた後に-6y²になるのですから、aとcは(1,-6)(-1,6)(2,-3)(-2,3)の組み合わせになりそうです。
で、開いた後に-xyになるってことは、(a,c)は(2,-3)ですね。(x+ay+b)(x+cy+d)を開いてみて、問題にある式と比べてみればそうなることはすぐわかると思います。

開いた後に7yという項が出てきます。bとdが(-1,2)か(1,-2)になることはわかっているのですから、(x+2y+b)(x-3y+d)を開いて比べてみれば(b,d)が(-1,2)になることはすぐにわかります。

答えは
(x+2y-1)(x-3y+2)

注目する場所とか言う問題じゃなくて、計算練習が足りないんですよ。

回答No.2

asuncion

再整理。
x^2 - xy - 6y^2 + x + 7y - 2
を、xの降べきで整理する。yでもいいけど。
x^2 - (y - 1)x - 6y^2 + 7y - 2 = x^2 - (y - 1)x + (-6y^2 + 7y - 2)
これが(x - α)(x - β)の形に因数分解できるとすると、
(x - α)(x - β) = x^2 - (α + β)x + αβより、α, βは、足して(y - 1), かけて-6y^2 + 7y - 2
-6y^2 + 7y - 2をたすきがけで因数分解する。(3y - 2)(-2y + 1)
3y - 2 + (-2y + 1) = y - 1となるから、うまくいっている。
たすきがけの因数分解がすぐにできなければ、-6y^2 + 7y - 2 = 0という2次方程式を
解の公式で解く。
-6y^2 + 7y - 2 = 0
y = (-7 ± √(49 - 48) / (-12) = (-6) / (-12), (-8) / (-12) = 1/2, 2/3
(y - 1/2)(y - 2/3) = 0
y^2の係数をさしあたり+6にそろえるため、第1項に2を、第2項に3を、それぞれかける。
(2y - 1)(3y - 2) = 0
ただ、これだと、(2y - 1) + (3y - 2) = 5y - 3となってしまい、y - 1にならない。
解決するには、第1項2y - 1の符号を反転させる。-2y + 1
こうすることで、(-2y + 1) + (3y - 2) = y - 1になる。
よって、α = -2y + 1, β = 3y - 2となるから、
求める結果は
(x - (-2y + 1))(x - (3y - 2)) = (x + 2y - 1)(x - 3y + 2)

補足

前半部分は理解しました
降べきの順で整理するのはわかりました
ですがその後がわからないです
なぜカッコで括られたyー1を持ってこれるのか？
その後、残されたx^2-xはどうするんですか？

回答No.1

asuncion

x^2 - xy - 6y^2 + x + 7y - 2
を、xの降べきで整理する。yでもいいけど。
x^2 - (y - 1)x - 6y^2 + 7y - 2
Xについての定数項である-6y^2 + 7y - 2を因数分解することを考える。
(3y - 2)(-2y + 1) = -6y^2 + 7y - 2
となり、かつ、(3y - 2) + (-2y + 1) = y - 1となってxの1次の項の係数（正負の符号は置いておく）が出てくるので、これでよさそう。
どうしてもむずかしければ、-6y^2 + 7y - 2 = 0
という2次方程式を解の公式で解くことを考える。
-6y^2 + 7y - 2 = 0 ... (1)
6y^2 - 7y + 2 = 0
y = (7 ± √(49 - 48)) / 12 = 8/12, 6/12 = 2/3, 1/2
より、(y - 2/3)(y - 1/2) = 0, y^2の係数を6にするために、第1項に3を、第2項に2を、
それぞれかける。ちょうど分数がなくなるので、都合がよい。
(3y - 2)(2y - 1) = 0
ただ、このままだと、(1)式と符号が反転してしまっており、帳尻を合わせるために
第2項の符号を反転させる。(3y - 2)(-2y + 1) = 0
(x - (3y - 2))(x - (-2y + 1))
より、(x - 3y + 2)(x + 2y - 1)

補足

すみません
原理がわからないです
なぜカッコで括られたyー1を持ってくる事が出来るんですか？