特異値分解の右特異ベクトルと左特異ベクトルの違いについて

質問

初めまして．

大学院での研究のときに，特異値分解を使う機会がありました．
そこで本や，ネット知識などを駆使して
Mがm行n列の場合に
M＝UΣVH（Hは複素共役転置）
というように分解でき，このとき
UはMMHの固有ベクトルの集まりでサイズはm行m列
VはMHMの固有ベクトルの集まりでサイズはn行n列
になり，Uを右特異ベクトル，Vを左特異ベクトルということがわかりました．
また，UとVの固有値は一致することもわかりました．

ところが，固有値がなぜ一致するのかが，よくわかりません．
固有ベクトルが違うのに，なぜ固有値は同じになるのでしょうか？
右特異ベクトルと，左特異ベクトルはサイズ以外に大きな違いがあるのでしょうか？
Mに対して，MHを左から掛けることと，右から掛けることでどのような幾何学的変化が起きているのか，ぼんやりとすらイメージできません．

うまく説明できていないかもしれませんが，ご教授の程，よろしくお願い致します．

回答No.1

reiman

＞Uを右特異ベクトル，Vを左特異ベクトルということがわかりました．
U,Vは行列であってベクトルではありません。
また、左右逆になっているのでは？
回答者に余計な気配りをとらせてしまうので正確に書きましょう。
正確には
Uの列ベクトルは左特異ベクトル、Vの列ベクトルは右特異ベクトル
と書くべきではないでしょうか？

＞UとVの固有値は一致することもわかりました．
これも次の間違いではないでしょうか?
MMHの非０の固有値のセットとMHMの非０の固有値のセットが等しいことも分かりました。
Uの固有値、Vの固有値ではないでしょう。
Uの固有値、Vの固有値は無意味堕と思います。

なお行列Pの複素共役転置はP^*とかくほうが見やすいと思います。

以上、間違いがあるので締め切って
頭を整理して正して再質問する方が良いではないでしょうか?
コピー＆ペイストを使って編集すればすぐにできます。