固有ベクトル

質問

n×n行の固有値をλ1,λ2,.......λnとします．

このとき，任意に選んだ固有値λpに対する固有ベクトルを求めたいと思いますが，何かアルゴリズムとかありますか？n×nだと，固有方程式にはちょっと・・・

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

固有値がわかっている場合、ふつうは原点移動付逆ベキ乗法を用いると思います。
　行列Ａが固有値λpとλpに属する固有ベクトルXpを持つ場合、行列Ａ－λpＥは、固有値0に固有ベクトルXpを持つので、
　　(Ａ－λpＥ)Xn+1＝Xn
を解きます。Ｅは単位行列です。解けるの？という話がありますが、これは繰り返し計算を前提にしています。例えば全ての固有空間をカバーするように、初期ベクトルをX0＝(1，1，・・・，1)と選び、(Ａ－λpＥ)X1＝X0をふつうの方法で解きます。
　このとき数値的にはdet(Ａ－λpＥ)は非常に0になりやすいです。そこで、掃き出し法等の計算過程で対角成分が本当に0になったら、それを10^(-10)とかに置き換える安全装置付でこれを行います。結果として得られるX1は、固有ベクトルXpの成分が、他の成分と比較して異常に大きいベクトルとなります。
　繰り返し計算が発散しないように、X1を規格化し、X2を同じ方法で求めます。これを何度か繰り返せば、Xpの成分成分以外はほとんど0になるベクトルが得られ、適当な判定基準で計算を打ち切ります。
　面倒なのは、重複固有値の場合ですが、このあたりの対処法は、伊里正夫の本などで調べて下さい。この人は、日本の線形代数の大御所です。

回答No.1

Tacosan

固有値がわかってるんだったら消去法で求まるような気がする.