固有ベクトルについて

質問

行列 A = -1 2
　　　　　　　1 0
の固有値がλ＝1,-2 の時，右固有ベクトルと左固有ベクトルはどうなるのでしょうか？また，任意定数の定め方はどうすればいいのでしょうか．

回答No.1

info22 · ベストアンサー

やり方だけ
参考URLを見て質問者さんの解答を作って、補足に書いて下さい。
そしてその中で分からない箇所があれば補足質問して下さい。

解法要点）
(A-E)(A+2E)=
[-2, 2][1,2]=0
[ 1,-1][1,2]
>右固有ベクトルと左固有ベクトルはどうなるのでしょうか？
λ＝1の時の固有ベクトルt[1,1]
λ＝-2 の時の固有ベクトルt[2,-1]
ただし、t[]は転置を表す。

>任意定数の定め方はどうすればいいのでしょうか．
自由に決めて結構です。
通常ベクトル要素が整数で、最初の要素が正の整数になるように決めます。ただし、他の定数を決めても不正解とはなりません。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/eigenvector.htm

補足

A=｜-1 2｜の固有値をλとすると，λ=1,-2
　 ｜ 1 0｜
右固有ベクトルu = (x y)
λ=1のときの右固有ベクトルu1は
　(A-λE)u1=0
　 -2x + 2y = 0
　　　 x - y = 0
x=c1とおくとy=c1
∴u1 = |c1| = c1|1|
　 　　　 |c1| 　　 |1|
λ=-2のときの右固有ベクトルu2は
同様にして
　u2 = c2|-2|
　　　 　　 | 1|

左固有ベクトル v = (x y)
λ=1のときの右固有ベクトルv1は
　v1(A-λE)=0
　 -2x + y = 0
　　 2x - y = 0
x=c3とおくとy=2*c3
∴v1 = |c3 2*c3| = c3|1 2|
λ=-2のときの右固有ベクトルv2は
同様にして
　v2 = c2|-1 1|

以上が私の回答です．
しかし，模範解答では，
　　u1=|1|,　u2=|-2|,　v1=|1/3 2/3|,　v2=|-1/3 1/3|
　　　　 |1| 　　 　 | 1|
となっており，任意定数が定まっていました．
この根拠は何かあると思いますか．御意見お願いします．

回答No.2

info22

#1です。
A#1は右固有ベクトル（列ベクトル）になります。
>λ＝1の時の固有ベクトルt[1,1]
>λ＝-2 の時の固有ベクトルt[2,-1]
>ただし、t[]は転置を表す。
固有ベクトルの一般形はこれらの任意定数倍です。

一方、左固有ベクトル(行ベクトル)は
λ＝1の時の固有ベクトル　[1,2]
λ＝-2 の時の固有ベクトル[1,-1]
固有ベクトルの一般形はこれらの任意定数倍です。

補足回答の補足について
u1,u2,v1,v2は合っています。

また、模範解答の解答と定数倍の関係になりますので、
あなたの解答でも正解になります。
定数倍の定数は任意に選択しても良いので通常はベクトルの要素が整数になるように定数を選びます。
上に書いた当方の解答でも定数倍の違いですから、正解です。
模範解答のv1,v2は要素が整数になっていないのであまり良い解答では無いと思います（間違いではない）。

>任意定数が定まっていました．
任意定数は（好きな値に）任意に決めてやっても問題ありません。

お礼

返信遅くなって申し訳ありません．
任意定数がなぜそこの部分だけ違うこと(?)をしているのかずっと気になっていて仕方ありませんでした．

>任意定数は（好きな値に）任意に決めてやっても問題ありません。
そうですよね．しかし，模範解答の作成者の意図がいったいどんなものだったのかはやっぱり気になって仕方ありません(汗)
とりあえず，模範解答の作成者に聞いて，また不明な点がありましたらここで質問させていただきたいと思います．

今回のご回答ありがとうございました．非常に参考になりました．