固有ベクトルを求める問題

質問

3行3列の行列　A=[1 0 2　　4 3 1 　2 1 3] の固有値１に属する固有ベクトルは、どのように求めたらいいのでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

固有方程式
A-tE=
[1-t, 0, 2]
[4 ,3-t, 1]
[2 ,1 ,3-t]
に固有値t=1を代入して、列ベクトル[x,y,z]tを掛けたものがゼロに等しいと置いた方程式
[0, 0, 2][x]
[4 ,2, 1][y]
[2 ,1 ,2][z]
=
[0]
[0]
[0]
から
　2z=0
　4x+2y+z=0
　2x+y+z=0
この連立方程式の(0,0,0）以外の解が固有値t=1に対する
固有ベクトルで、固有ベクトルの一般形は、cを任意定数とすれば。
　c(1,-2,0)
で表せます。
c=1とおいた(1,-2,0)も固有ベクトルの１つです。

補足

Eは何でしょうか。

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#3の（注）の訂正

誤：注)A#1は計算ミスがあり固有値に間違いがありますね。
正：注)A#1は計算ミスがあり固有ベクトルに間違いがありますね。

失礼しました。

お礼

ご訂正ありがとうございました。
A#1の固有ベクトルは計算ミスですね。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問について

>Eは何でしょうか。
それが分からないで固有値や固有ベクトルを扱えますね。
固有値の定義式にEは出てきませんでしたか？
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm
http://www.cfv21.com/math/eigenvalue.htm

最も教科書によってはEの代わりにIの記号を使っているのもありますが…。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal2/node12.html

今の場合Eは３x３の単位行列です。
教科書で復習しておいて下さい。

xを列ベクトル、Aを正方行列とするとき
Ax=λx ⇔　(A-λE)=0, Eは単位行列
を満たすλを行列の固有値という。

注)A#1は計算ミスがあり固有値に間違いがありますね。

お礼

ご回答ありがとうございました。IもEも単位行列のことなんですね。

回答No.1

WiredLogic

固有値というのは、元々、↑P = (x,y,z) (列ベクトルとする)とすると、

A*↑P = k*↑P ⇔ (A-kE)*↑P = ↑O(零ベクトル) が、
自明でない解(x,y,z) (つまり、x=y=z=0でない解)を持つときの
kの値のことだった訳で、そのときの↑Pが固有ベクトルですから、

k=1 なら、A-kE = [0 0 2 4 2 1 2 1 2] なので、
これに、列ベクトル(x,y,z)をかけたら、零ベクトル、
そうなるx,y,zは、連立方程式を解けば、
１つには決まりませんが、何らかの関係式は導き出せる、
その中で、x=y=z=0でないものを、１つ選べば、
それが固有ベクトルです。

実際には、
2z = 0, 4x + 2y + z = 0, 2x + y + 2z = 0 が出るので、
z = 0, 4x + 2y = 0, 2x + y = 0 から、y = -2x、
y = 1 とすると、x = -2, z = 0 で、(-2,1,0)
y = -1として、(2,-1,0)、y=-2として、(4,-2,0)
どれでもＯＫということです。

単位固有ベクトルと言われたら、絶対値√5で割って、
(-2/√5, 1/√5, 0) または (2/√5, -1/√5, 0) のようにします。

お礼

ご回答ありがとうございます。「実際には、」の下３，４行目のxとyの値が合わないのですが。