無限級数が発散するのが論理的には分かっても直観的に納得できない。

質問

『lim（ｎ→∞）Ｓｎが収束するならばlim（ｎ→∞）ａnは0に収束する』

と言う命題の逆が成り立たない事の例として

∞
Σ 　1/√n
n=1

が∞に発散する事が証明付きで載っていました。
その証明はとても分かりやすく確かに∞に発散するのが理解できました。
ですがどうにも感覚的に納得できません。

だって足す項がどんどん0に近づいて行くと言うことは
その合計も徐々に変動が無くなるわけで、これって収束しているなぁって思っちゃいませんか？

なんというか頭では分かっているけれど心では分かっていない感じで気持ちが悪いです。
どうにかこれが発散することを感覚的に掴める方法を教えてください。

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

今晩は。#2です。
すみません。　ANo.2でのEｘｃｅｌのＶＢＡの訂正と補足です。

>ExcelのVBAでプログラムを作ってやって
みるとよいでしょう。
(1)Excelの表示(V)→「ツールバー」→「Visual　Basic　Editor」に「チェック」をいれる。
(2)Excelの「ツール」→「マクロ(M)」→「Visual　Basic　Editor]をクリック
(3))ExcelのVBAエディターが起動する。
(4)画面のタイトルバーが Microsoft　Visual　Basic[デザイン]となっている。
(5)これが「Visual　Basic　Editor」の画面である。
(6)　[挿入(Ｉ)」で「標準モジュール」をクリックしてModule1ができるのでModulle1を開く。
Module1に次のプログラムを書く。

(７）　プログラムは、「漢字・ひらがな・カタカナ」意外は　「半角英数字」で大文字・小文字に注意して
入力すること。「&」の両側には必ずスペースを入れること。

Sub　suuretu1()
Dim i As Currency :Dim N As Currency:Dim S As Double
　　Range(“A1”)=”加える回数”　:'　ダブルコーテーションです。（コメント文）
　 N=Range(“B1”):' 加える回数　（コメント文）
　 Sheet1.Range("B2")=N:S=0
For　i=1　to　N
　　S=S+(1/Sqr(i))
　 　 Sheet1.Range("C1")="第" & WorksheetFunction.Text(i,0) &　"項まで足しました"
　　 　Sheet1.Range("C2")=Val(i)
　　　　Sheet1.Range("D2")=Val(1/Sqr(i)):' 足している分の表示　（コメント文）
　　Sheet1.Range("E2")=Val(S):' 第i回までの合計　（コメント文）
Next i
Sheet1.Range("G1")="合計"
Sheet1.Range("G2")="第" 　&　 WorksheetFunction.Text(N,0)　&　 "項までの合計は" 　& WorksheetFunction.Text(Val(S),0) 　&　 "です"

End Sub

(8)これを[フロッピーのマーク」をクリックして「上書き保存]する。XLSのマークをクリックして
ExeclのSheet1画面に戻る。

(９) ExcelのSheet1に[図形描画」で適当な図形をSheet1の少し下の方に貼り付ける。
(10))その図形を「右」クリックして「マクロの登録」で先ほど
作成したプログラム[suuretu1]を選択して「ＯＫ」をクリックして「図形」とプログラムを関連づける。

(11)Sheet1の「B1のセル」に適当な正の整数を入れる。
　これは足す回数である。
(12)先ほどの作成した「図形」を「左」クリックして実行

(13)S=S＋（１/Sqr(i)）の(1/Sqr(i))の部分を　数列の第i項　a_iに変えれば
Σ[i=1→Ｎ]a_i の結果がG2のセルに出る。
(14)　B1の値をいろいろ変えてみるとよいでしょう。

お礼

あやや、丁寧な補足ありがとうございます。
マクロのマの字も分かっていないので
下のでエラーが出て悩んでいましたがこれでちゃんと動きました！
Excelってこんなことも出来るのですね。すごい、すごいよ！びっくりだよ！

んで、おもむろにB1に馬鹿でかい数を入れて、パソコンが必死に計算しているのを
延々と見ていると、確かにいつまでもゆっくりと増え続けていく感じがしました。

でもそれと同時にD2にいま足している数が表示されていて
刻一刻と0に近づいて行くのを見るとやはりいつかは止まりそうだと思っちゃったりなんかして・・・

そこで代わりに1/2^nで試した所、さくっとあっという間に1に収束して

このスピード感が収束と∞の差なのだろうと感じました。√じゃ速さが足りない！ってな感じ。

・・・でもこの速さの境界はいったいどこなのかしらん。やっぱ収束半径が分からんとだめなのかな。

まぁ何はともあれ、このExcel計算でそこはかとなく感覚で理解できました。ありがとうございました！

それと、いままでマクロ(プログラミングか？)なんて
遠い世界のものだと思っていましたが、えらい便利だし、おもしろそうですね。興味がわきました。そっちの面でもどうもでした。

回答No.4

kup3kup3

今晩は。＃2です。なんどもすみません。
ExcelのVBA　最後の　End　Subの前を訂正します。
>(７）　プログラムは、
・・・・
Sheet1.Range("G2")="第" 　&　 WorksheetFunction.Text(N,0)　&　 "項までの合計は" 　& WorksheetFunction.Text(Val(S),0) 　&　 "です"
End Sub

を以下のように再度訂正します
◎Sheet1.Range("G2")="第" 　&　 WorksheetFunction.Text(N,0)　&　 "項までの合計は" 　& CStr(Val(S)) 　&　 "です"
End Sub

折角　合計S　を倍精度の浮動点小数で計算しているにText関数だと
そこが活かされないので、
最後の「合計の表示」も文章の中でも倍精度になるよう
CStr・・・Convert　(to）　String　で文字列として
CStrを使うようにしました。

回答No.2

kup3kup3

こんばんは
1/√nの合計だから電卓で√キを使って足してゆくと
n=10まで足してもう5.021くらいになる。n=20で7.595と
n=50で19.609くらいと　ゆっくりだが、確実に増えている。
1/nの合計だともっとゆっくり、ゆっくり増えるが、電卓の計算はらくになるよ。

ExcelのVBAでプログラムを作ってやって
みるとよいでしょう。
(1)　ExcelのVBAエディターを起動して

Module1に次のプログラムを書く。

(2）

Sub　suuretu1()
Dim i As Currency :Dim N As Currency:Dim S As Double
　N=Val(B1):'加える回数　（コメント文）
　Sheet1.Range("B2")=N:S=0
For　i=1　to　N
　　S=S+(1/Sqr(i))
　 　Sheet1.Range("C1")="第" & Text(i,0) &　"項まで足しました"
　　 　Sheet1.Range("C2")=Val(i):
　　　　Sheet1.Range("D2")=Val(Sqr(i))
　　Sheet1.Range("E2")=Val(S)
Next i
Sheet1.Range("G1")="合計":Sheet1.Range("G2")="第" & Text(N,0)　& "項までの合計は" &_ TexT(Val(S),0) & "です"

End Sub

これを[名前をつけて保存]で半角で「suuretu1]として保存
VBAエディターを閉じる。

(3) Sheet1に[図形描画」で適当な図形をSheet1に貼り付ける。

(4)その図形を「右」クリックして「マクロの登録」で先ほど
作成したプログラム[suuretu1]を
選択してＯＫをクリックして関連づける。

(4)Sheet1のB1のセルに適当な正の整数を入れる。
　これは足す回数である。
(5)「作成した「図形」を「左」クリックして実行

回答No.1

sanori

こんにちは。
お気持ち、わかります。
私も若かりし頃、そう思ったものですから。

「収束半径」っていう概念がありますが、これでも難しすぎますか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%8D%8A%E5%BE%84

ちなみに、その逆もありますよ。
きっと驚かれると思いますが。
（１年ほど前に私が回答を投稿した質問）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3227319.html?ans_count_asc=0

お礼

なんという早い回答！びっくり。

１+２+３+４+５+６+７・・・＝－１/１２
ふむふむ・・・ってなんだこれー？
質問のやつで既に狐に頬をつままれたような感じでしたが
さらに狐に頬を往復ビンタされたような気分になりました。うふふ。
数学深いよ数学。

収束半径のページも見させてもらいましたが1行目から
？のオンパレードでした。ごめんなさい。大学生になれば分かるのだろうか・・・むむむ。

難しくてあまり理解できていませんがおもしろい回答ありがとうございました。