関数の大小

質問

e^x>2sinx (0<x<π/4)
を示せ。
という問題なのですが、
f(x)=e^x-2sinxとおく。
f'(x)=e^x-2cosx
f'(x)<0 ,f'(0)=-1
f"(x)=e^x+2sinx
f"(x)>0
こんな感じで、先に進めずとまってしまいます。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
補足質問について

>e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
>は
>e^x>g(x)>2sinx (0<x<π/4)の書き間違いですよね？
書き写し間違いでした。失礼しました。

>f1(x)=e^(x)-g(x)>0
>f2(x)=g(x)-2sin(x)>0
>を示せば良いのですね。
そうです。

>g(x)の候補を探すのは、問題によっては簡単ではなさそうな感じですね。
解答作成ではg(x)は「突然ひらめいた（思いついた）」簡単な関数でいいです。なぜそのg(x)が出てきたかは解答の中では触れる必要な無いですね。（大抵、問題の出題者は分かっているはずです）

g(x)を見つける方法
一次式ですから、2つの式のグラフの接線を使うのが自然です。
y=2sin(x)のx=0における接線は
y=2x
でy=2sin(x)に接していて
y=2sin(x)の上部にあります。
y=e^xは接線y=g(x)より、ずっと上に位置します。

あるいはy=e^xのx=0における接線は
y=x+1=g(x)ですからx>0では
e^x>x+1
が成り立ちます。
一方、y=2sin(x)はg(x)のずっと下にあります。
という事で
g(x)の候補を見つけるのは、不等号の左辺または右辺の関数が微分できて
接線が求められればg(x)は容易に見つかります。
無料の参考URLの関数グラフィックソフトGRAPESを使えば、グラフの上下関係（不等式の左辺と右辺の大小関係）ははっきり確認できますよ。
ぜひ使ってみてください。日本語のマニュアル付のソフトで便利ですよ。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

返事がおそくなりましてすいません。
本当に、ご丁寧に返信して頂き、ありがとうございます。

回答No.3

info22

＞f'(x)<0　(0<x<π/4)
これは間違いです。

微分しても関数が繰り返すだけですので
#1さんの考え方が良いですね。

e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
という媒介となる関数g(x)でg'(x)=定数、g"(x)=0となる関数をもってきて
e^x>g(x)(0<x<π/4)
および
g(x)<2sinx (0<x<π/4)
を示して
e^x>2sinx (0<x<π/4)
となることを示す
いわゆる「三段論法」を使うとすっきりするでしょう
g(x)=x+1
または
g(x)=2x
を使うと
f1(x)=e^(x)-g(x)
f2(x)=g(x)-2sin(x)
という関数の大小関係がはっきりしますので
明確に大小関係を示せますよ。

お礼

返信ありがとうございます。
「三段論法」ですね。初めて、お聞きしました。
f'(x)<0
私のは間違いですね。
f'(x)は負から正に変わりますね。

e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
は
e^x>g(x)>2sinx (0<x<π/4)の書き間違いですよね？
f1(x)=e^(x)-g(x)>0
f2(x)=g(x)-2sin(x)>0
を示せば良いのですね。
g(x)の候補を探すのは、問題によっては簡単ではなさそうな感じですね。

回答No.2

noname#190095

f">0よりf'は単調増加
f'(0)<0 f'(π/4)=e^(π/4)-√2＞2^(π/4)-√2＞０
よってf(x)は0<x<π/4で最小値を持ちその時のxをaとすると
f'(a)=0を満たすからe^(a)-2cos(a)=0　(1)
f(x)の最小値は(1)を用いて
f(a)=e^(a)-2sin(a)=2(cos(a)-sin(a))＞0　（0＜a＜π/4 より）
最小値が正よりe^x＞2sinx (0<x<π/4)

お礼

すごく綺麗な解法ですね。
2^(π/4)-√2>0　は鋭いですね。
1回微分の値が正と負に分かれていることから
f'(a)=0を満たすaが存在し、かつaは最小値になる。
この結果から導けるとのことですね。
ありがとうざいました。

回答No.1

Sin0

これは両方とも微積操作でも循環する関数且つ交点を求めるのは厳しいので、上手く整関数等で大小を仲介してしまいましょう。

この場合はe^x>F(x)>2sinxを満たす（π/4>x>0で）F(x)を探します。この場合F(x)=x+1が良いでしょう。
これなら上記の差の関数を用いる同様の方法で簡単に示せると思います。F(x)との大小関係を示せば終わりです。

お礼

ありがとうございます。
F(x)=x+1ではさんであげて、大小を判断するのですね。
全く発想が出てきませんでした。