三角関数

質問

この問題の解答・解説を教えて欲しいです。

0≦X≦2π において
f(X)=√3sinX+3cosX
g(X)=√2cosX-√6sinX
を考える。
f(X),g(X)はそれぞれ
f(X)=2√3sin(X+π/3)
g(X)=2√2cos(X+π/3)
と表せる。

(1)f(X)=0 を満たすXの値は？
(2)g(X)＜2 を満たすXの値ね範囲は？
(3)f(X)+g(X)は最大値□をとるか？
※□は空欄です。

見づらくて申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

ヒント
(1)
単位円を描いて考えると良い。
0≦X≦2πより　π/3≦X+π/3≦2π+π/3 …(★)
(★)の範囲で sin(X+π/3)=0となる (X+π/3)の角度を単位円より拾い出す。

(2)
単位円を描いて考えると良い。
0≦X≦2πより　π/3≦X+π/3≦2π+π/3 …(★)
(★)の範囲で g(X)=2√2cos(X+π/3)<2 すなわち cos(X+π/3)<1/√2 となる (X+π/3)の角度の範囲を単位円より拾い出す。

(3)
f(X)+g(X)=2√3sin(X+π/3)+2√2cos(X+π/3)
=2√5{sin(X+π/3)(√3/√5)+cos(X+π/3)(√2/√5)}
=2√5sin(X+(π/3)+A) …（☆）
ここで、cos(A)=√3/√5,sin(A)=√2/√5
と合成できる。
0≦X≦2πより　(π/3)+A≦(X+(π/3)+A)≦(π/3)+A+2π
この範囲で考えれば(☆)は明らかに最大値をとりますね。
最大値は分かりますね？

お礼

回答ありがとうございました。詳しいヒントなので、解き方が分かりました!!助かりました!!

回答No.1

noname#152422

以下ヒントです。

(1)sinθ=0となるθはどんな値か考える。

(2)cosθ<1/(√2)となるθはどんな値か考える。

(3)三角関数の合成を計算する。

お礼

回答ありがとうございました。ヒントを参考に自分で頑張って考えたいと思います!!