（超難問）正n角形の対角線の交点の個数は?

質問

正n角形の対角線はn(n-3)/2本ありますが、これらの交点は何個あるのか、気になります。

ここで難しいのは、異なる3本の対角線が一点で交わることがありうるからです。
さらに、異なる4本の対角線が一点で交わることもあったりして複雑なかんじがします。

いろいろネット上で検索してみて、角度の問題の難問として有名なラングレー問題と関係あるのは分かります。
ラングレイ問題で出題される角度がすべて2π/2mの倍数のとき、正m角形の異なる3つの対角線が一点で交わる場合がある。
http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/handle/2237/5211を参考

そのサイトの133ページによると、正n角形の異なる3本の対角線が一点で交わる条件が単位円上の複素数を用いて書かれ、手計算では円分多項式を利用できるとあります。
しかし、そのすべての場合を求めるのは、コンピュータを頼っているようです。

それなのに、
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9508/9508209v3.pdf
の3ページのtheorem1によると「正n角形の対角線の交点の個数I(n)」の公式があるようです。
どうしてそのような公式になるのか教えていただけないでしょうか？
サイトが複雑なのでもっとやさしい参考サイトでもいいので教えてください。
たとえば、n=30の場合でもいいです。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>どうしてそのような公式になるのか教えていただけないでしょうか？
証明が書いてあるので，
「興味があるなら論文読め」としかいえないねえ．

1の12乗根の話題のところまで読んだけど，
そこまでの予備知識としては
・日本の高校でいう数A程度の幾何
・複素数の極形式
・円分多項式・1の累乗根
・ガロア群（といってもアルティンの教科書くらいの内容くらいかな？）
ってところかなあ．
順番に読んでいって，知らないことが出てきたら調べるのか
とりあえず「そういうこと」にして先に進むのが
論文読むときの定石でしょう

とりあえず
「三本の対角線が一点で交わる必要十分条件」
だけでも，面白いことやってますな．なるほどって感じ
これが
>正n角形の異なる3本の対角線が一点で交わる条件が単位円上の複素数を用いて書かれ、手計算では円分多項式を利用できるとあります。
と重複する部分でしょう．

数学オリンピックみたいな雰囲気の論文ですね
つまり「超越的な定理」は使わずに比較的初等的な事実を
巧妙に組み合わせている感じです．

回答No.2

saus

はんまや、かいたる。
理解できないけど。
バークレイ大学にいったら・・・。
交わる時が、mod(420)が最大で機械で計算したらそないでんねん、ってかいたるわ。
ガロア理論とかからんでくるからよーわからん。
自分で考え。誰も知らんって。

回答No.1

rabbit_cat

その論文に証明も載っているみたいですけど。