対角線が通過する正方形の数(中学入試問題)

質問

正方形を横にm個、縦にn個並べて、長方形を作ります。
そのできた長方形の対角線が通過する正方形の数を求める問題です。

mとnが互いに素の時、長方形の対角線は正方形の頂点を通過することがないみたいですが、
なぜだか説明できません。

どなたかこのことをうまく説明できる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

dreamfighter · ベストアンサー

中学入試問題ということは小学6年生が解くのでしょうか？

私がぱっと思いついたのは、格子点の話です。

（証明）
xy平面において、0≦x≦m,0≦y≦nをみたす格子点を本問の正方形の頂点とする。また題意の長方形をO(0,0)A(m,0)B(m,n)C(0,n)を頂点とするものとすることができる。

さて、「mとnが互いに素の時、長方形の対角線は正方形の頂点を通過することがない」ことは言いかえると「線分ACと線分OBが点ＯＡＢＣ以外の格子点を通らない」・・・（※）ことである。

つまり（※）の証明をすればよい。線分ＯＢの式はy=(n/m)x とおける。ここでnとmは互いに素であるから、この二つは１以外に公約数を持たないため、m自身の公約数と、nとも互いに素である。従って、0≦x≦mの時yは整数となることは点Ｏ，Ｂ以外ない。線分ＡＣの場合も同様。

以上より（※）が示されたので題意は示された。（証明終）

ですが、小学生にもわかるような答えはまだ思いつきません・・・・・・。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

これの立体版が今年の灘中の入試に出たみたいで
http://news.livedoor.com/article/detail/6241971/?__from=mixi
興味を持って調べていましたら、
平面の場合は中学入試では頻出問題らしいのです。
http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/2012/01/post-725b.html　（渋谷教育学園幕張中学　２０１２年）

既に有名な公式もあるようで、
m , nが互いに素な時、通過する正方形の数は「m+n-1」。
というものです。

直線の方程式を持ち出すというのは思いつきませんでした…。
塾で小学生にどのように教えているのかが気になりますよね。
まさか灘中受験者に「これは公式だから丸暗記しちゃって」ってことでもないと思うので…。

どうもありがとうございました。

回答No.3

sphenis

先に言い訳しておきます。
小学生の問題、ということであまり複雑にしない為に全部『自明』で済ませてるので、きちんとした証明の手法からはかなりぶっ飛んでます。

対角線が正方形の頂点を通過するには、長方形の内側に横縦比がm:nの長方形が存在していなければいけません。
互いに素でないということはm=kx、n=ky(kは2以上の整数、x、yは自然数)と表すことができます。
これは、長方形の内側に横と縦の長さがそれぞれxとyである長方形が存在するということです。
m=kx、n=kyよりm:n=x:yですから、これはすなわち横縦比がm:nの長方形が内側に存在するということです。
よって、m、nが互いに素でない場合は、対角線は正方形の頂点を通過します。

m、nが互いに素のとき、長方形の内側に横縦比がm:nの長方形が存在しないのは…すみません、自明です。
よって、対角線は正方形の頂点を通過することはありません。

いい加減な説明で申し訳ないです＾＾；

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

私もずっと対角線が格子点(p , q)を通ると考えたときの
内部の相似長方形(p , q)について考えておりました。

>m、nが互いに素のとき、長方形の内側に横縦比がm:nの長方形が存在しないのは…すみません、自明です。

ここがやはり難しいですよね…^^:

t/sを既約分数として、
m(t/s)=p , n(t/s)=q とおける。
m , nは互いに素なので、s=t=1と考えたのですが、

『t/sを既約分数として、』このあたりが小学生には微妙かな・・・と感じております…。

どうもありがとうございました。

補足

相似より
q=np/mでm , nが互いに素なので、
p=m という感じになりました。

回答No.2

B-juggler

このところ、中学の入試問題が華やかですね＾＾；

元代数学非常勤講師(o｀・ω・)ゞデシ!!

Ｎｏ．１さんの回答でいいと思いますよ。

ごめん後出しじゃんけんだけど。

「互いに素」が理解できるので、進学塾なんかに通って、

随分と先取りしてきている小学生相手に出されている問題と

思って構わないと思いますよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　こういう問題でふるいに掛けられるのも、なんだか不憫で将来も不安に思うけど。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

これはこれは元大学の先生ですか。^^

私は中学受験の経験はないのですが、
難しいですよね。

やはり直線の式で考えるのが普通なのですね。

どうもありがとうございます。