正n角形の面積

質問

半径rの円に内接する正n角形が存在します。
その正n角形の内、弦にあたる辺を底辺とし、弦の両端から中心に向かって線（長さr）を引き三角形を作ります。
この時の中心の角θは 2π/n とします。
ここで、この三角形の面積を出します。
三角形の二辺の長さとその間の角が判明しているので、公式より、1/2*r*r*sin2π/n=1/2*r^2*sin2π/n と求まります。
この三角形を利用して、正n角形の面積を求めたいのですが、その答えに辿りつくまでの説明がイマイチ理解できません。
答えは、1/2*r^2*n*sin2π/n なのですが、上の式よりnを掛けた説明ができません。
頭では理解しているつもりが、言葉に表すとハッキリと表せません。
何方かご教示願います。

回答No.3

may0430 · ベストアンサー

>この時の中心の角θは 2π/n とします。
↑ここがすごく気になりました。
「この時の中心の角をθとおくと、θ＝2π/n となる。」
あげ足をとるわけではなく、なんとなく気になったので、もしかして、
すっきりしないのは、
ここかな？と、昔の記憶をよせあつめて^^;　言葉にしてみました。
どこか矛盾しているかもしれませんが…

正n角形（n>=3）の頂点をP1，…Pn、内接している円の中心点をAとすると、
n個の三角形　P1P2A，…，PnP1A ができ、
それらは、それぞれ、P1P2，…，PnP1 を底辺とし、
P1A＝P2A，P2A＝P3A，…，PnA＝P1A
なる二等辺三角形である。
また、
　P1P2＝…＝PnP1
　P1A＝P2A＝…＝PnA
　P2A＝P3A＝…＝PnA＝P1A
であるので、三辺が等しいことにより、これらn個の三角形は合同である。
ここで、三角形が合同であることより、
　　　　角P1AP2＝…＝角PnAP1
を得るが、一方、
　　　　角P1AP2＋…＋角PnAP1＝2π
であるので、
　　　　角P1AP2＝…＝角PnAP1＝θ
とおくと、
　　　　ｎθ＝2π
従って、
　　　　　θ＝2π/n
また、正ｎ角形の面積はこれらn個の合同な三角形の面積の和と等しいので、
内接している円の半径をrとおけば、正n角形の面積は
　　　　　n*1/2*r^2*sin2π/n
となる。//

回答No.2

komimasaH

図を描けば、正ｎ角形の場合、ｎ個あることは分かりますが
それでは納得できないようですね。
簡単にいえば、２π/nの頂角をもつ三角形はｎ個あるに決まっている
ということでは、どうでしょう。

回答No.1

zap35

正ｎ角形ですから「弦の両端から中心に向かって線（長さr）を引き三角形」は何個できますか？　ｎ個ですよね。

だから三角形の面積（1/2*r^2*sin2π/n ）にｎを掛けているだけのことではありませんか。