行列

質問

(3,3)行列の問題で

A=[a1 a2 a3]

a1'=[1 0 0]
a2'=[1 2 0]
a3'=[-1 4 -2]

A^7はいくつ
という問題があります。

単純に計算すると時間はかかるけど答えは出ますが

それでは効率がよくないと思います。

(2,2)行列みたいに簡単に計算できる方法はないのでしょうか？

教えてください。

回答No.3

Tacosan

Cayley-Hamilton の定理を適用するという選択もあり.

回答No.2

guuman

定理：実対称行列は直交行列によって対角化される
定理：直交行列によって対角化される行列は実対称行列である
定理：異なるn個の固有値を持つn次行列は正則行列によって対角化される
を使え

回答No.1

toranekosan222

簡単な方法としては

直交行列Uを用いてU^(t)AU=Vが対角行列になるようなUとVを求めます。
U^(t)AU U^(t) A U=U^(t) A E A U=U^(t) A^2 U =V^2

V^nは簡単に計算できるので、上の性質を活かして
U^(t) A^n U=V^nとなることに気がつけば
A^n=U V^n U^(t)
として計算が可能です。

(2,2)行列ほど簡単に出来るのはありません。
試しに、(3,3)の一般的な行列を仮定して、同じような公式が
導き出せるかどうか試してみて下さい。

お礼

なるほどわかりました。