行列式の問題で

質問

行列式は４次式以上の場合はサラスの方法使えませんよね?
｜0 0 0 2｜
｜0 0 1 0｜
｜0 3 0 0｜
｜1 0 0 0｜
こういう行列式があった場合a14 b23 c32 d41なので
4 3 2 1を並べ替えて1 2 3 4にするには2回並べ替えるのでεp=+1ですよね？
それでサラスの方法でまず計算すると右上から左下にかけて掛け算をするのでマイナスになりますよね？
だけどεp=+1だから答えは-2×1×3×1＝-6を+6にするんですか？？
それとも最初からこの行列式はサラスの方式は使えないとなっているのでただ単に2×1×3×1の計算をしてεp=+1なので答えは6ということになるのでしょうか??どっちに考えても6になってしまうのですが、それはこの場合だったからだと思うんです。はっきりさせておかないと間違えそうなので・・・。もし、言っている意味がわからなかったらなんでも言ってください。それではお願いします！！

回答No.3

Umada · ベストアンサー

最後の和をとるところで間違えていました。訂正させて下さい。行列式はおっしゃる通り6です。

それぞれ残った行列の行列式は
A: -6　B: -2　C: -6　D: -3
であり、それに(-1)^(m+n)を掛けると余因子は
A: 6　B: 2　C: 6　D: 3
と求められます。

元の行列からどの行でも良いので1行抜き出し、
n
Σ{a(m, k)×Δ(m, k)}
k=1
を計算するとそれが行列式です。
問題の行列の場合、例えばもとの行列から3行目(0, 3, 0, 0)を抜き出し、これと余因子Δ(3, k)={0, 2, 0, 0)と上記の和を取ると6になります

余因子の方法でもやっていることは本質的に同じです。m行n列成分に(-1)^(m+n)をかけるところで偶置換/奇置換を考慮していることになります。
お尋ねの件に関しては「2×1×3×1の計算をして、εp=+1なので行列式は6」という後者が正しいということになります。(行列式の定義そのものです)

くどいようですが、4×4以上の行列ではサラスの方法は使えないことに注意してください。
成分の積(どの行・列からも1つずつ成分をとって作る積なので、n次正方行列ならn!通り)についてすべてεpの正負を判定しながら足すか、余因子を使うかで地道に計算するしかありません。
今回の問題の場合、全部で24通りある成分の積のうちゼロでないものがただ一通りであり、「2×1×3×1の計算をして、εp=+1なので6、他の23通りは全てゼロなので行列式は6」という結果になったわけです。

回答No.2

secret-goo

Aをn次行列、Bをm次行列、Cをn×m行列とすると、
｜A　C｜
｜O　B｜＝ ｜A｜｜B｜ という公式を知っていれば簡単なのですが。

｜0 0 0 2｜ の場合、まず1行と4行を入れかえて　　｜1 0 0 0｜
｜0 0 1 0｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－｜0 0 1 0｜
｜0 3 0 0｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜0 3 0 0｜
｜1 0 0 0｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜0 0 0 2｜

A=1　、C=0　0　0　、B=0 1 0
　　　　　　　　　　　　　　3 0 0
　　　　　　　　　　　　　　0 0 2

とすると、求める行列式は　－｜A｜｜B｜ なので｜A｜＝１、｜B｜ ＝-6（サラスの公式より）を代入して、答えは6

補足

ん～これもよくわからないのですが答えは-6で一緒ですね。やはりめんどくさいやり方をしないでサラスの方法で求めるように計算をする方がいいですかねぇ??

回答No.1

Umada

既にお気付きのようにサラスの方法は4次以上の行列では使えません。4次以上の行列の行列式は「余因子」の方法を使うことになります。

余因子: 正方行列のm行目の成分とn列目の成分を全て取り除いてできる行列の行列式に、(-1)^(m+n)を掛けたもの。Δ(m, n)などと表す。

具体的に求めてみましょう。

｜0 0 0 2｜
｜0 0 1 0｜
｜0 3 0 0｜
｜1 0 0 0｜

まず1行目と1列目を取り除きます。

｜0 1 0｜
｜3 0 0｜
｜0 0 0｜

この行列の行列式(サラスの方法で求めてよい)を求め、それに(-1)^(m+n)=(-1)^2=1をかけたものを作るとそれが余因子です。答えはゼロです。
*質問の趣旨ですが、この3×3の行列にサラスの方法を使って良いかどうかで悩まれたのでしょうか?　3×3ですから使って構いません。元の行列が5×5で、できる行列が4×4だとするともう一度余因子を取ることになります。

次に1行目と2列目を取り除きます。

｜0 1 0｜
｜0 0 0｜
｜1 0 0｜

同様の作業を繰り返すと、これの余因子も0だと分かります。
こうやって全ての(m, n)の組みについて余因子Δ(m, n)を求めます。

もとの行列の行列式は
Σ[a(m,n)×Δ(m, n)]
で求められます。(a(m, n)は元の行列のm行n列の成分です)

さて問題の行列では、余因子がゼロにならないのは
A(4行目と1列目) B(3行目と2列目) C(2行目と3列目) D(1行目と4列目)
をそれぞれ取り除いて作った4つの行列だけです。

それぞれ残った行列の行列式は
A: -6　B: -2　C: -6　D: -3
であり、それに(-1)^(m+n)を掛けると余因子は
A: 6　B: 2　C: 6　D: 3
と求められます。
それぞれにm行n列成分をかけて足しあわせると
1×6 + 3×2 + 1×6 + 2×3
になります。よってこの行列の行列式は24です。

単純な計算なので計算ミスをしているかも知れません。ご自身でも検算しながら読んで頂けると幸いです。
以下のページにさらに詳しく出ていますから参考にされるとよいです。

余因子、ヤコビの定理
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/yacobi/yacobi.htm

4次の行列式(サラス風)
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic2/basic2.html#4dimdeterm

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/yacobi/yacobi.htm

補足

回答して頂いて申し訳ないのですがどこかやり方が違うような気がします・・・。
答えは6であっています。これは確実です。答えを見ました。ただ、テストとして出されたときにちゃんとしたやり方がわからないと困ると思って質問したのですが・・・。おっしゃっていることも聞いた事が無いものばかりで・・・。なぜでしょう？？