行列式の基本性質

質問

行列式の基本性質を用いて

｜1　a^2　(b+c)^2｜
｜1　b^2　(c+a)^2｜
｜1　c^2　(a+b)^2｜

を解け・・・という問題なんですが、
(a^2-b^2){(b+c)^2-(a+b)^2}-(a^2-b^2){(b+c)^2-(c+a)^2}
まで解けましたが、どう因数分解しても答えと一致しません・・・
ちなみに答えは　2(a-b)(c-a)(b-c)(a+b+c)　です・・・

どのようにしたら解けるかアドバイスなど下さい・・・。

回答No.2

mtaka_2007

ここは行列式の基本性質を使って変形するのかと思います。
第3列から第２列を引いて、因数分解すれば、a+b+cが共通因子となりますので、外にでます。その後に第２行と第３行から第１行を引けば、a-bとc-aが外にでます。残りを計算すれば、2(b-c)となります。

回答No.1

kabaokaba

>(a^2-b^2){(b+c)^2-(a+b)^2}-(a^2-b^2){(b+c)^2-(c+a)^2}

｜1　a^2　 (b+c)^2｜
｜0　b^2-a^2　(c+a)^2-(b+c)^2｜
｜0　c^2-a^2　(a+b)^2-(b+c)^2｜

でしょう．基本変形をおちついてすれば終わりです．

おまけ：
なお，求める行列式は，行列式の基本性質と多項式の性質より
・a,b,cについて対称式
・a+b+c=0とすると値は0
ということから，
(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)f(a,b,c)
f(a,b,c)は多項式
という形になるのは明らかです．
また，行列式の定義を考えると，
f(a,b,c)はせいぜい，a,b,cの一次式です．
まわりくどいし，ここでは蛇足ですけど，
こういう解き方もできます．