行列の問題です。因数分解，方程式

質問

(1)次の行列式を因数分解しよう。
┃１　１　１ ┃
┃a 2a+b a+2b ┃
┃b a+2b 2a+b ┃
を自分でやったところ、最後に行列式が０担ってしまいました。でも、答えは、2(a+b)(a-b)であり、不一致でした。

(2)次の方程式を解こう。（２問）
┃１　１　１ ┃
┃x １　３ ┃＝０
┃x^2 １　９ ┃

┃-x　１　３ ┃
┃１ -x　-1 ┃＝０
┃１ -1　2-x ┃

以上について、よろしくお願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

arion_netさん、こんにちは。

(1)
┃１　１　１ ┃
┃a 2a+b a+2b ┃
┃b a+2b 2a+b ┃
=┃１　0　0 ┃
┃a a+b 2b ┃
┃b a+b 2a ┃
=┃a+b 　2b ┃
┃a+b 　　2a┃

=(a+b)┃1 2b ┃
　　　┃1 2a┃
=(a+b)(2a-2b)
=2(a+b)(a-b)・・・（答）

となります。
行同士、列同士を比較して、上手に引き算して
計算しやすくしてみてくださいね。

(2)
┃１　１　１ ┃
┃x １　３ ┃＝０
┃x^2 １　９ ┃

=┃１　０　　　　０ ┃
┃x 　　1-x　　3-x ┃
┃x^2 　1-x^2　9-x^2 ┃

=┃１-x　３-x ┃
┃ １-x^2　９-x^2 ┃

=┃１-x　　　　３-x ┃
┃(1-x)(1+x)　(3-x)(3+x)┃

=(1-x)(3-x)┃１　 1┃
　　　　　　┃1+x　3+x┃

=(1-x)(3-x){(3+x)-(1+x)}

=(1-x)(3-x)*2

=2(x-1)(x-3)=0

となるのだから、x=1,3・・・（答）
となると思います。
一つずつ変形してみてください。

(3)の同様にして頑張ってみてください。
ご参考になればうれしいです。

補足

とても参考になりました。というか、１でなぜ０にったのか、fushigichan様に聞いてよく分かりました。
途中で、私は、
=┃a+b 　2b ┃
　┃a+b 　2b┃
=(a+b)*2b=┃1 1┃
　　　 　　　 ┃1 1┃
になっていたからでした。よかった、間違いに気づけて。

それから、別で証明問題の質問をしているのですが、そちらの方もよろしければお願い致します。

回答No.1

mirage70

３次ですので、強制的に展開すればいかがですか。
４次以上になると、一番上の行を使って展開するようになります。
(1)=-(b(2a+b)+(a+2b)^2+a(2a+b))+(2a+b)^2+a(a+2b)+b(a+2b)=2a^2-2b^2=2(a+b)(a-b)
(2)(1)=-(x^2+3+9x)+9+x+3x~2=2(x^2-4x+3)=2(x-3)(x-1)=0
(2)(2)=-(-3x-x+(2-x))+x^2(2-x)-3-1=-x^3+2x^2+5x-6
=-(x-1)(x+2)(x-3)=0

お礼

ありがとうございました。

数学というもの、次数が２次３次・・・ｎ次と大きくなると非常に扱いにくい・・・。
もちろん数学者ならば当たり前なのでしょうが、私には難しいことも・・・（独り言）

ありがとうございました。