行列式の基本的性質

質問

| 1 a b c+d |
| 1 b c d+a |
| 1 c d a+b |
| 1 d a b+c |
…の答えは0になるらしいのですが、その解き方が分かりません。
自分はまず(2)-(1)、(3)-(1)、(4)-(1)として
| 1 a b c+d |
| 0 b-a c-b a-c |
| 0 c-a d-b a+b-c-d |
| 0 d-a a-b b-d |
…として、第一列目の一行目以外はすべて0なので
| b-a c-b a-c |
| c-a d-b a+b-c-d |
| d-a a-b b-d |
…と削除しました。
しかし、それからサラスの公式を使うと複雑な式になるので、多分別の方法なのだと思います。
ヒントだけでも教えてください。お願いします。

回答No.1

sono0315 · ベストアンサー

4列目に、2列目と3列めを足す

お礼

ありがとうございます。
では、早速。まず、転置します:
| 1 1 1 1 |
| a b c d |
| b c d a |
| c+d d+a a+b b+c |
(2)+(3)+(4)を(4)に代入します:
| 1 1 1 1 |
| a b c d |
| b c d a |
| a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d |
a+b+c+dを括り出します:
a+b+c+d *
| 1 1 1 1 |
| a b c d |
| b c d a |
| 1 1 1 1 |
第1行目と第4行目が同じなので、定理4.6.7により、この行列式は0になります。■

ちなみに、これは転置せずに列同士を足して
a+b+c+d *
| 1 a b 1 |
| 1 b c 1 |
| 1 c d 1 |
| 1 d a 1 |
…と括り出してもいいんですよね。
ありがとうございました！