複素数と極形式について教えてください

質問

５次方程式ｘ＾5－１=０の１でない解の１つをωとするとき、
１）α=ω+ω＾-1とおくとき、α＾2+αの値が求められません。
２）ωを極形式で表し、上の方程式の５つの根を複素数平面上に図示するということ、また１に隣接する根のｘ座標βの値を求めたいです。

詳しいかた教えてください。宜しくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

１）
x^5-1＝(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
より, x^5-1=0 の1でない解ωは
x^4+x^3+x^2+x+1＝0 の解なので
ω^4+ω^3+ω^2+ω+1＝0 を満たし,
解ω≠0よりω^2(≠0)で割って
ω^2+ω+1+1/ω+1/ω^2＝0 となり,
これを α=ω+1/ω で書き換えて
(α^2-2)+α＋1=０
α^2+α=1・・・（＊）

２)
極形式　→　1の5乗根ですのでご自分で．
|ω|=1に注意すると，1/ω=ωバー(複素共役)で
α=ω+1/ω=2×Re(ω)
なので 方程式（＊）の大きい方の解が1に隣接する２根のx座標の２倍です．

お礼

oshiete_gooさん詳しい回答を本当にありがとうございます。自分で考えながら読み進めていきたいと思います。

回答No.3

good777

****■【問題】■*************************************************************
　５次方程式ｘ＾5－１=０の１でない解の１つをωとするとき、
１）α=ω+ω＾-1とおくとき、α＾2+αの値が求められません。
２）ωを極形式で表し、上の方程式の５つの根を複素数平面上に図示するということ、
　また１に隣接する根のｘ座標βの値を求めたいです。
******************************************************************************
解)　
（1）α＾2+α
　＝ω^2＋2＋（ω＾-2）+ω+（ω＾-1）
　＝（ω^2＋ω+1＋（ω＾-1）+（ω＾-2））+1
　＝（（ω^2＋ω+1＋（ω＾-1）+（ω＾-2））/（ω^2））＋1
　＝（（ω^4＋ω＾3+ω＾2+ω+1）/（ω^2））＋1
　＝（（ω＾5-1）/(ω^2)(ω－1））＋1
　＝0+1＝1

（2）ｘ＾5－１=０　の5つの解は
　cosθ＋isinθです。（ただし、θ＝0、２π/5、4π/5、6π/5、8π/5）

　よって、1＝cos0＋isin0　のとなりは
　θ＝２π/5、8π/5のときで、

　ｘ座標β＝cos(2π/5)

となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■［答え］■（１）1　（2）cos(2π/5)

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[付記]
（1）は、すでにほかの人がすばらしくかいてあるので、わざと素朴に書いたものです。
（2）極形式（ｘ、ｙ）＝（ｒcosθ、ｒsinθ）において、ｒ＝1で、θは円の５等分角
答えはcos(2π/5)、cos(8π/5)になるが同じ値なので簡単なのを選ぶ。

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お礼

ありがとうございます。最後の付記にある（２）がとてもありがたかったです。これからも宜しくお願いします。

回答No.1

gimmick

大雑把に説明します。

1) α=ω+ω＾(-1)とω^5=1から
　α＾2 + α = ω^4 + ω^3 + ω^2 + ω + 1 + 1
　ここでω^4、ω^3、ω^2、ω、1はｘ＾5－１=０の5つの解であり、その和は0。よってα＾2+α = 1となります。

2) 一般に、(ｘ＾n)-1=0のn個の解を複素平面上に図示すると、原点を中心とする半径1の円の上に等間隔に配置されます。そして、n個の解のうちの1つは1です。ここまで書けばわかりますね？

お礼

gimmickさんいつも回答頂きありがとうございます。