商写像の連続

質問

どうやって良いのかわからず困っています。
宜しくお願い致します。

E:Banach空間
N:Eの閉部分空間
π：E→E/N
∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続

ここで、連続というのは下記が成り立っていること
∀ξ∈E　∀ε>0 ∃δ>0　∀ξ'∈E
∥ξ-ξ'∥<δ　⇒　∥π(ξ)-π(ξ')∥<ε

このδをεを使って表せ。

※
これを考えるために、簡単なので考えてみようと
f(x)＝x^2
∀x∈R　∀ε>0 ∃δ>0　∀x'∈R
|x-x'|<δ　⇒　|f(x)-f(x')|<ε
これでδをεであらわそうと考えたのですが
やはりどうやってよいのかわかりませんでした。
ご教授宜しくお願い致します。

回答No.3

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。

∥ξ+Ｎ∥＝inf{∥ξ+η∥｜η∈Ｎ} (ξ∈E)

これが、きちんと理解できていればπの連続はすぐに示せます。

∀ξ,ξ'∈E　に対して

∥π(ξ)-π(ξ')∥＝inf{∥ξ-ξ' +η∥｜η∈Ｎ}
　　　　　　　　　≦∥ξ-ξ'∥　（∵inf の定義）

ですから、任意のεに対してδ＝εとすれば、

∥π(ξ)-π(ξ')∥≦∥ξ-ξ'∥＜δ

つまり、∥ξ-ξ'∥<δ　⇒　∥π(ξ)-π(ξ')∥<ε

となって、πの連続性が示せます。

※ノルム空間においては、∥π(ξ)∥≦∥ξ∥が連続性の定義と同値な関係です。ですから、＃２さんも指摘していらっしゃるように

∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続

で、連続性は示されているようなものです。ですが、このことを明らかですと回答しても質問者さんは理解できないと思いましたので、Ｅ/Ｎのノルムの定義に基づいて連続性を示しました。

お礼

大変よくわかりました。
ありがとうございます！！

おっしゃる通り、よく「明らかです」と書かれているのが
やはりちゃんと理解してないので明らかではなかったので
助かりました。

回答No.2

koko_u_

ええと。

「∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続」

を示すんですよね？
πは線形だから、その前提 ∥π(ξ)∥≦∥ξ∥ から連続であることは明らかなように見受けられますが。

# バナッハ空間とかもはや覚えてないので、大きく間違えているかも。。。

お礼

おっしゃる通り明らかなのですが、
そこがどうして明らかなのか理解不足でわからず
質問させていただきました。

εとδの関係せいがよくわかっていないみたいです、
すいません。

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。この問題を考える上で最初に確認するべきことは、ＥとＥ/Ｎのノルムです。Ｅ/Ｎのノルムの定義を補足の欄に書いてください。πの連続性を示すのはそれからです。

補足

すいません！！
以下、ノルムの定義です。

∥ξ+Ｎ∥＝inf{∥ξ+η∥｜η∈Ｎ} (ξ∈E)