アニュラスはどうしてS^1∪S^1と表せるの?

質問

初心者です。
トポロジー入門の本で
アニュラス(円環)というレコード盤型の図形∂Aはトポロジーでは
∂A=S^1∪S^1と表せると書いてあります。
トポロジーでは半径の相違は考えないとも書いてあります。
半径の相違を考えないのならS^1∪S^1はただの円盤になるのでは
アニュラスを表したいならS^1＼S^1と表現すべきだと思うのですが…

どなたか説明ください。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

>∂A=S^1∪S^1と表せると書いてあります。
その本に書いてあることを正確（忠実に）に記述して下さい。これだけでは意味不明です。集合として、S^1∪S^1=S^1ですね。また、Aというのは何ですか？　Aがアニュラスならば、∂Aはアニュラスの境界ですよね。アニュラスの境界は２つの１次元球面（円周）です。

>トポロジーでは半径の相違は考えないとも書いてあります。
トポロジーでは同相の図形を同一視しますから、そういう意味で、半径の相違は考えないということです。

>半径の相違を考えないのならS^1∪S^1はただの円板になるのでは
意味がよく分かりません。S^1は１次元球面（円周）です。円板は２次元です。次元が異なります。

質問者さんの疑問を勝手に解釈させていただくと、
「トポロジーでは半径の相違は考えないのだから、アニュラスの内側の円周の半径を０にすれば、そのアニュラスははただの円板になるのではないか」
ということでしょうか。もし、ご質問がそのような意味ならば、「円板とアニュラスは同相ではない」というのが答えです。

>アニュラスを表したいならS^1＼S^1と表現すべきだと
これも意味不明です。集合としては、S^1＼S^1=Фとなってしまいますが。

お礼

有難うございます。

>>∂A=S^1∪S^1と表せると書いてあります。
> その本に書いてあることを正確（忠実に）に記述して下さい。

「レコードのドーナツ型のように一つの円盤からその中の小円盤をくりぬいて得られる図形をアニュラス(円環)ととよぶ。アニュラスの境界は2つの円(内側と外側の円)からできている。アニュラスを記号でAと書けばこのことを縁を表す記号∂を使って∂A=S^1∪S^1と表す事ができる」

です。

>>アニュラスを表したいならS^1＼S^1と表現すべきだと
> これも意味不明です。集合としては、S^1＼S^1=Фとなってしまいますが。

S^1を円盤(円周及び内部)と考えております。 S^1＼S^1はФかアニュラスになると思います。
S^1∪S^1は円盤と円盤の和集合ですから円盤になると考えました。

Aをアニュラスとするのだから∂Aは2つの円周でS^1∪S^1となるのですね。
S^1∪S^1自体がアニュラスを表すものと考えておりました。

回答No.3

kabaokaba

最低限の一般的な表記を勉強してください．
少なくともS^1は読んでる本に書いてあるはず．

記号を勝手に解釈してはいけません．
D^2(r)も文脈から自明ですし，普通に使われます．
B^2(r)と書いてもこの文脈ではまず通じます．

お礼

ご紹介有難うございます。
とても参考になります

回答No.1

kabaokaba

半径の違いは考えなくても二つの円周は違うもの．

円環の境界は，二つの円周なので
それを称して，∂A=S^1∪S^1と表現してるんだろうけども
普通はこれだと誤解を招くから
disjoint unionであることを明記してるはず．
本ではΠをひっくり返した記号を使って書いてない？
それを∪にしてしまっていない？

>半径の相違を考えないのならS^1∪S^1はただの円盤になるのでは
なりません．
円周と円板の違い
（数学ではあまり「円盤」とはかかない）が分かりますか？

>アニュラスを表したいならS^1＼S^1と表現すべきだと思うのですが…
この表記の方が意味不明です．
もういちど円板と円周の違いが分かりますか？と書いておきます．

アニュラスをあえて似た表記で表すなら
D^2(r)-D^2(r') (0<r'<r)
くらいでしょう．

お礼

有難うございます。

> アニュラスをあえて似た表記で表すなら
> D^2(r)-D^2(r') (0<r'<r)
> くらいでしょう．

何となく分かってきました。
S^1は円盤ではなく円周を表しているのですね。

説明部分を抜粋すると
「レコードのドーナツ型のように一つの円盤からその中の小円盤をくりぬいて得られ
る図形をアニュラス(円環)ととよぶ。アニュラスの境界は2つの円(内側と外側の円)
からできている。アニュラスを記号でAと書けばこのことを縁を表す記号∂を使って
∂A=S^1∪S^1と表す事ができる」
ですから,
Aがアニュラスの時,∂A=S^1∪S^1となるのは当然ですね。

所でD^2(r)は何を意味する記号でしょうか?