AD＝36である長方形ABCDの内側に点P,Q,R

質問

AD＝36である長方形ABCDの内側に点P,Q,Rを中心とする3つの円があり、図のように接している。
角QPR＝90度，Pを中心とする円の半径が5、PQ<PR，△PQRの外周が60であるとき、次の問いに答えよ。

(1)ABの長さを求めよ。
(2)直線PRで長方形ABCDを２つに分ける。Aを含む図形の面積をS1，Cを含む図形の面積をS2とするとき、S1:S2を求めなさい。

円Rの半径が15,円Qの半径が10であることは、わかりました。

教えて下さい！

回答No.6

178-tall

錯誤を訂正。

両台形の高さは同一だから、
　S1 : S2 = La : Lc = 34.5 : 63.5 = 69 : 127

回答No.5

178-tall

ANo.3
　↓
>2 分されてできた台形の求積は、残務としてみる。
　↓

A を含む台形の上下底の和 La = 30.75+3.75 = 34.50
C を含む台形の上下底の和 Lc = 18.25+45.25 = 63.50

両台形の高さは同一だから、
　S1 : S2 = La : Lc = 34.5 : 63.5 = 79 : 127

回答No.4

MSZ006

図が比率がおかしかったり使っていない文字があったりでイマイチですがご容赦を。
（２）
VF=15tan(α)=15*3/4
∴DV=15/4

VI=UI*tan(α)
=36*3/4
=27

AU=DIより、
AU=DV+VI
=15/4+27

台形AUVDの面積S1
S1=(15/4+15/4+27)*36/2
=621

S2の面積=36*49-S1
=1143

S1：S2＝621：1143
∴S1：S2＝69：127

回答No.3

178-tall

>円Rの半径が15,円Qの半径が10であることは、わかりました。
　　　↓
… ならば、「ピタゴラス勘定」で得られる寸法たちは？
まず添付図に補助線
　点 P を通り辺 AD に平行な直線 h
を付加し、点 Q, R から直線 h に垂線を立て、その足を S, T としよう。

(1) 題意より、
　直線 AB と 点 P の距離 = 5
　直線 DC と 点 R の距離 = 15
なので、
　PT 間の長さ = 36-5-15 = 16
さらに、ピタゴラスにより、
　RT 間の長さ = √(20^2 - 16^2) = 12

また、角 QPR = 90 度だから QS/PS = PT/RS 、PQ = 5+10 = 15 、だから、
　QS 間の長さ = 12
を得る。

以上の結果を集計。
　AB = 15+12+12+10 = 49

(2) 添付図にて、AB を y 軸、BC を x 軸 (B が原点) と想定し、所与の寸法から点 P, Q を通る直線 y = ax+b を想定すれば？
点 P (5, 22) と点 R (21, 34) を通るから、a = 3/4, b = 73/4 = 18.25 。
この直線は、点 VL (0, 18.25) と点 VR (36, 45.25) にてそれぞれ直線 AB と直線 DC に交わる。
2 分されてできた台形の求積は、残務としてみる。

回答No.2

MSZ006

＃１です。
すみません、書き間違いがありました。
（誤）∴cosα=4/5　→　sinα=3/4　
（正）∴cosα=4/5　→　sinα=3/5

回答No.1

MSZ006

（１）
Rを通りADと平行な直線と、Pを通りABと平行な直線を考え、その交点をSとする。
角PRS=α　とおく。
円P,Q,Rの半径はそれぞれ5,10,15である（すでに計算済み）

AD=36より、
5+PRcosα+15=36
PR=5+15=20なので、
∴cosα=4/5　→　sinα=3/4

また、角QRPにおいてもcosQRP=4/5なので角QRP=α　である。

次に、
Rを通りCDに平行な直線と、Qを通りBCに平行な直線を考え、その交点をTとする。
角QRT=βとおくと、β=π/2-2αである。

RT=QRcosβ
=25cos(π/2-2α)
=25{cos(π/2)cos(2α)+sin(π/2)sin(2α)}
=25sin(2α)
=25(2sinαcosα)
=25*2*(3/5)*(4/5)
=24
よって、
AB=15+RT+10
=15+24+10
∴AB=49