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またまた極限。
中心間キョリが２aでともに半径ｒの円がありその内部をそれぞれＣ1とＣ2で表す円があります。 Ｃ1とＣ2の和集合Ｃ1∪Ｃ2からＣ1とＣ2のの共通部分Ｃ1∩Ｃ2を除いてできる図形の面積をＳ(ｒ)とする。 このときlim[r→∞]S(r)/rを求める問題です。 ０に近づくのだろうと予想はしていますが、Ｓ(ｒ)がどうしても表せません。
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- liar_adan
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答えは出ているようですが、ちょっと意地になってみます。 問題の図形は □□□□□□■■■■□□□□□□■■■■□□□□□□□ □□□□■■■■■■■■□□■■■■■■■■□□□□□ □□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□ □□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□ □□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□ □□□□■■■■■■■■□□■■■■■■■■□□□□□ □□□□□□■■■■□□□□□□■■■■□□□□□□□ で、 上と下を切り落とすと □□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□ □□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ ■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□ □□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□ □□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□ となり、その片方 ■■■■■■■■■■□□□□ □■■■■■■■■■■□□□ □□■■■■■■■■■■□□ □□■■■■■■■■■■□□ □□□■■■■■■■■■■□ □□□■■■■■■■■■■□ □□□■■■■■■■■■■□ □□□■■■■■■■■■■□ □□■■■■■■■■■■□□ □□■■■■■■■■■■□□ □■■■■■■■■■■□□□ ■■■■■■■■■■□□□□ の面積は、高さ2R、幅2aの長方形 ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ に等しい、ということです。
お礼
おおおおお！！！ すごい！ネットの限界を超えましたね！ これを見てようやく納得できました。 わざわざありがとうございます。
＃３です。 計算として＃５の方の答でよさそうで納得しました。 私がθとしたところを２θとしてみえます。そのほうが 計算もわかりやすそうです。 ｒをθで表して変数を１つにする。 (2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ) 前の（）が∞、後ろのカッコが０に近づくので∞*0の不定形です。 (π/2)-θ = t と置きかえれば 後は２倍角の公式とか (2a/sint）(2t+sin2t)=2a(2t/sint+2sintcost/sint) ｔ→０のときsint/t→１だから当然 t/sint→１ などを使えば極限値が求まります。
お礼
詳しい解説ありがとうございました。 今度こそ納得です。
- mmky
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- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
C1:x^2+y^2≦r^2，C2:(x-2a)^2+y^2≦r^2 とすると， D1：x^2+y^2≧r^2，(x-2a)^2+y^2≦r^2 または D2：x^2+y^2≦r^2，(x-2a)^2+y^2≧r^2 の面積がS(r)で，D1とD2はx=aについて対称（特に面積が等しい）ですから，D1の面積をT(r)とするとS(r)=2T(r)。 (a，√(r^2-a^2))～(0，0)～(a，-√(r^2-a^2))でできる角を２θとおくと， T(r)=(1/2)*r^2*(2π-2θ)+r^2*sin 2θ -(1/2)*r^2*2θ = r^2(π-2θ+sin 2θ) また，cos θ = a/r ですから， S(r)/r = 2r(π-2θ+sin 2θ) = (2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ) となります。 あとは，(π/2)-θ = t と置きかえれば，t→+0のときの極限となるので，ふつうの三角関数の極限の問題です。 lim[r→∞]S(r)/r = 8a になると思います。 P.S. 先の質問で，「原点の近くでy軸が漸近線」となっていましたが，「原点に限りなく近づくが原点は含まない」の誤りですよね？ 締め切られてしまったので，回答しようがありませんが・・・。
お礼
どうもありがとうございます。初めて回答していただきますね。（多分） S(r)/r = 2r(π-2θ+sin 2θ) = (2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ) lim[r→∞]S(r)/r =lim[θ→π/2](2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ) でよいのですね？ そうすると lim[θ→π/2](π-2θ+sin 2θ)＝０ になりません？どこから8aが出てきたのでしょうか？ PS ｒ→∞⇔θ→π/2は何の断りも無く使っていいものでしょうか？
補足
そのとおりです。 そのことを書こうと思ったのですが私しの頓珍漢な説明で・・・ でも答えはわかりました。 心遣いに感謝いたします。
交わりの面積がわかればできるでしょう。 それは扇形から三角形の面積を引けばよい。（その２つ分） 中心角がθの扇形の面積は(1/2)(r^2)θ 三角形の面積は(1/2)r^2sinθ Ｓ(r)＝２[(πr^2)－{(1/2)(r^2)θ－(1/2)r^2sinθ}] －２{(1/2)(r^2)θ－(1/2)r^2sinθ} 整理すればもっと簡単になると思いますがそれはお任せして 後はｒ→∞のときθ→π なので求める極限は０で良いだろうと思います。
お礼
なるほど。わかりました。 どうもありがとうございます。
- liar_adan
- ベストアンサー率48% (730/1515)
>どの図形でしょうか？○が二つかさなってできたとこ？ そう。C1とC2の中心のy座標が0だとすると、 「和集合から共通部分を除いてできる図形」は、 タラコ唇を横にしたような形になりますね。 それで、上にある交点より上の部分と、 下にある交点より下の部分を除くと、 幅2a高さ2Rの長方形を、円周に沿わせてぎゅーっと平行に曲げた形になります。 平行に曲げているから面積は同じ…まあこれも 証明しないといけないのですが。
補足
？？？ わからないですー。ネット上ではこれが限界か？ それは何か定理かなにかですか？ 言葉がわかれば自分で検索いたしますが。
- liar_adan
- ベストアンサー率48% (730/1515)
S(r)は積分しないとわからないと思いますが… (可能かどうかもわからないけど) C1とC2を描くと、交点が二つできますね。 交点間の距離を2R(R<r)と表すと、 S(r)の面積は 2×2a×2R ≦ S(r) ≦ 2×2a×2r となります。 何でかって言うと…口で(文字でだろ)説明するのがすごく難しいのですが、 図を書いて、その図形を横線で塗りつぶしてください。 わかると思います。 で、Rは比率としてrに近づくと思います。 ＃この説明でわかるかなあ…。
お礼
はさみうちですか？わすれてた！ 最初Ｓ(ｒ)を求めようとして積分してみたら高校生レベルを超えていたので、挫折。 でも2×2a×2R ≦ S(r) ≦ 2×2a×2r がわかりません。（この説明でわかりませんでした。いや、すいません） ＞図を書いて、その図形を・・・ どの図形でしょうか？○が二つかさなってできたとこ？ ＞Rは比率としてrに近づくと思います。 これはわかりましたぞ。
お礼
またまたどうもありがとうございます。 ＞解答している最中に締め切られたことがあるので，初めての気がしないなぁ。（笑) あらら。そんなことが御ありでしたか。（前の質問かな） やっぱ締め切るのが早いとだめなのかな？ 自分で解決しちゃうと即締め切る癖がついていて。