テイラー展開について質問です

質問

1/2+3ｘ^2という式をテイラー展開することはできるのでしょうか？
できるのであればやり方を教えてください。

回答No.3

sunflower-san · ベストアンサー

1/(2 +3 x^2)
= 1/(4 -x i√24) +1/(4 +x i√24)

は x = ±i√(2/3) にそれぞれ一位の極があり、それ以外は複素平面全体で正則です。
したがって、x = ±i√(2/3) 以外の点であればテイラー展開可能です。また、例外の2点 x = ±i√(2/3) でもローラン展開は可能です。

以下、a ≠±i√(2/3)におけるテイラー展開を計算します。

1/(4 -x i√24)
= 1/(4 -(a +(x -a)) i√24)
= 1/((4 -a i√24) -(x -a) i√24)

ですので、等比級数の公式により | 4 -a i√24 | > | (x -a) i√24 | のとき、

1/((4 -a i√24) -(x -a) i√24)
= 1/(4 -a i√24) Σ( i√24/(4 -a i√24))^k (x -a)^k, (和は k = 0..∞)
= -i/(√24) Σ(-1/(a +i√(2/3))^(k+1) (x -a)^k, (和は k = 0..∞)

同様に、| 4 +a i√24 | > | (x -a) i√24 | のとき、

1/(4 +x i√24)
= i/(√24) Σ(-1/(a -i√(2/3))^(k+1) (x -a)^k, (和は k = 0..∞)

よって、これらの和をとって、 a における 1/(2 +3 x^2) のテイラー展開
(収束半径は min{ a -i√(2/3), a +i√(2/3) } )

1/(2 +3 x^2)
= -i/(√24) Σ{ (-1/(a +i√(2/3))^(k+1) -(-1/(a -i√(2/3))^(k+1) } (x -a)^k, (和は k = 0..∞)
= 2/(√24) Σ{-Im(1/(a +i√(2/3))}^(k+1) (x -a)^k, (和は k = 0..∞)

が得られます。(Im は虚部を表すものとします)
ただし、この表示には本来 a の有理数係数の有理式であるべき展開係数に一見√や i が混ざっています。もしそれが気持ち悪いなら、多少式が繁雑になりますが、以下のように√や i が現れないような形に書き換えることも可能です。

(aにおけるテイラー展開の (x -a)^k の係数)
= -i/(√24) (-1/(a +i√(2/3))^(k+1) -(-1/(a -i√(2/3))^(k+1)
= -i/(√24) ((-a +i√(2/3)^(k+1) -(-a -i√(2/3)^(k+1))/(a^2 +2/3)^(k+1)
= -i/(√24)/(a^2 +2/3)^(k+1) Σ{(k+1)Cj} (-a)^(k+1-j) {(i√(2/3))^j - (-i√(2/3))^j}, (和は j = 0..k+1)

ここで j が偶数の項は(i√(2/3))^j - (-i√(2/3))^j = 0となりますから、
j が奇数の項のみがのこります。そこで j = 2m+1 とおくと、

= (1/3)/(a^2 +2/3)^(k+1)Σ{(k+1)C(2m+1)} (-a)^(k -2m) (-2/3)^m, (和は m = 0..[k/2])

(ここで、{(k+1)Cj} は(k+1) から j とる組み合わせの数、[k/2]は k/2 を超えない最大の整数を表すものとします。)

したがって、
1/(2 +3 x^2)
=(1/3)Σ{ Σ{(k+1)C(2m+1)} (-a)^(k -2m) (-2/3)^m, (和は m = 0..[k/2]) }/(a^2 +2/3)^(k+1) (x -a)^k, (和は k = 0..∞)
のように係数が a の有理数係数の有理式であることがはっきり分かる表示も得られます。

回答No.2

spring135

f(x)=(2+3ｘ^2)^(-1)

テイラー展開というのはある点x=aの周りで多項式に展開することであり、

f(x)=f(a)+Σ(k=1,n)[f'(a)(x-a)^k/k!]の式に従って求めればよい。

f(a)=(2+3a^2)^(-1)

f'(x)=(-1)(2+3ｘ^2)^(-2)*6x

f'(a)=-6a/(2+3a^2)^(-2)

ここまではいいけどこの先f''(x),f'''(x),,,,,を求めるのは忍耐あるのみ。

自分でやってください。

回答No.1

spring135

分母はどこまでですか。

補足

記入ミス、すみません
（2+3ｘ^2）が分母です