expの中にルートのフーリエ係数

質問

できるものかどうかも分からないのですが、
下記の定積分、分かる方教えてください。

　　　exp( ( 1 - x^2 )^(1/2) + i k x )

積分区間は、(-1,1)です。

回答No.8

mmky · ベストアンサー

＃７、mmkyです。ごめん、＃７忘れてください。
ねむたい-あたまぼけ状態-の勘違いでした。
( 1 - x^2 )^（ν-1/2)の場合でした。
＃3siegmund先生以外の回答はありません。
質問者さん、たびたびごめん。

お詫びに、ベッセル関数の積分表示でも書いておきます。
実変数x
ｆν（x）
= (1-x＾2)^（ν-1/2), ｜x｜＜1
=0 その他
によって定義される複素数値(ν)関数の場合
実数部Ｒ｛ν+（1/2）｝＞0　のとき、ｆν（x）は可積分であり、
かつフーリエ変換Ｆ{ｆν}を持つ。
Ｆ{ｆν}=(-1～+1）∫(1-x＾2)^（ν-1/2)Exp(ikx) dx
ということで・・・
実数部Ｒ｛ν+（1/2）｝＞0　の条件では、
Ｊν(k)=Aν∫(1-x＾2)^（ν-1/2)Exp(±ikx) dx
Aν=(k/2)＾ν｛1/√πΓ（ν+（1/2）｝
ほかに、X=cosθ　と置換すれば、
Ｊν(k)=Aν∫sin＾(2ν)θExp(-ikcosθ) dθ
Aν=(k/2)＾ν｛1/√πΓ（ν+（1/2）｝
など。（Ｌ．シュワルッツ：物理数学の方法参照）
・・・質問者さんの題は、同じ土俵での定義で
ν=1 の場合に相当すると考えたのですが、Exp付の関数だから
お手上げになっているのです。
以上　お詫びまで

お礼

みなさん、どうもありがとうございました。
変な問題で、申し訳ありません。

結論的には、Mathematicaでできないから、できないでしょうか？
漸近的な、挙動を調べることにします。

回答No.7

mmky

mmkyです。再挑戦します。
この問題、Ｌ.シュワルッツ「物理数学の方法」p355-356 ベッセル関数の積分表示にありますね。
詳しくは遅いので明日でも記載します。
以上

回答No.6

mmky

(mmky さんは cosθを忘れた？)．
はい。忘れていました。
（因子を別々にθで積分しているように見えるんですが，
それはまずいでしょう．）
はい。まずいです。
siegmundさんの指摘の通り、お手上げです。
ベッセル関数の格好のようになりますねということだけの参考です。
質問者さんごめんなさいね。
参考まで

回答No.5

siegmund

siegmund です．
mmky さんの No.4 拝見しました．

x = sinθ とおくと，dx = cosθ dθですから，元の積分は
(1)　　∫{-1～1} exp{(1 - x^2)^(1/2) + i k x} dx
　　　　= ∫{-π/2～π/2} exp(cosθ) exp(ik sinθ) cosθ dθ
になります(mmky さんは cosθを忘れた？)．
で，mmky さんは「ちょっと操作します」で２つの因子に分けて議論しておられます．
因子に分けるのはいいとして(上の cosθの件は別にして)，
因子を別々にθで積分しているように見えるんですが，それはまずいでしょう．

exp の中身が cosθ などの形ですから，
mmky さんの言われるようにベッセル関数の積分表示に似た形にはなりそうです．

岩波の数学公式集などちょっと見てみましたが，ジャストそのものはないようです．
変形してうまく使えそうかな，と思ってやってみるとダメだったりで，
今のところお手上げです．

回答No.4

mmky

mmkyです。
#3siegmundさんの回答の通りです。
ベッセル関数系ですね。やってみましょう。

積分区間は、(-1,1)
exp( ( 1 - x^2 )^(1/2) + i k x )
x=sinθ　と置きます。　積分区間は（－π/2, π/2）に変更です。
exp( ( 1 - x^2 )^(1/2) + i k x )
=exp(cosθ)exp(iksinθ)
ちょっと操作します。
={exp(inθ)exp(cosθ)}{exp(－inθ)exp(iksinθ)}
こうすれば、後の方の式については、
ベッセル関数の積分表示, 積分区間（0, 2π）
Jn(k)=(1/2π）∫{exp(－iｎθ)exp(iksinθ)}dθ
が使えるので,積分区間（0, π）と考えれば、
∫{exp(－inθ)exp(iksinθ)}dθ=π*Jn(k)
前の方の式は、
∫{exp(inθ)exp(cosθ)}dθ
となりますね。
ということで、ベッセル関数系ということまで。
参考まで

回答No.3

siegmund

私も ibm_111 さんと同意見です．

(1)　　exp[ ( 1 - x^2 )^(1/2) ]
が偶関数ですから，正弦変換の方はゼロになるのは明らかですが
余弦変換の方が難物です．
おそらく，初等関数，あるいはよく知られた特殊関数の組み合わせでは
表現できないと思います．
そもそも，k=0 の余弦変換に対応する
(2)　　∫{-1～1} exp[ ( 1 - x^2 )^(1/2) ] dx
ですら，数値積分より仕方がないようです．

(2)は，研究の過程で出てきたことがあるのですが，
その際少し調べたときは公式集やハンドブックなどには見あたりませんでした．
もちろん，(2)だけなら数値積分は容易(1.23296 になる)で，
そのときは数値積分結果で済ませました．
まあ，複雑な式(あんまりなじみのない○○の定数など含んでいるかも知れない)
で表現できたところで，
「で，その値はどれくらいなの？」ということになりますから，
結局数値積分と同じことになっちゃいます．
有名な積分だったりすると，
「あ，siegmund さんはあの積分がこうなること知らないんだ」
なんて思われる(^^;)位のことです．

でも，フーリエ展開だと k の関数になっているわけですから，
単なる定数じゃ済みませんね．
k を振らしながら数値積分を繰り返し行うか，
あるいは k の小さい場合が重要なら cos(kx) の部分を k のべき級数に展開するか
(つまり，∫{-1～1} x^(2n) exp[ ( 1 - x^2 )^(1/2) ] dx を数値積分することになる)
といったところでしょうか．

お礼

皆さん、ありがとうございました。
研究の中ででてきたのですが、
別の方法を考える必要があるようです。

キレイに求まるものであれば、
すっきりしたのですが。

回答No.2

noname#108554

Mathematicaに計算させたところ、できなかったので、
おそらく数値的にやるしかないのでしょう。

回答No.1

aodesu

( 1 - x^2 )をｔと置き換えて、ｔでごりごりと積分すれば求まるのではないんですか？
解ける自信はありませんが。