exp(sqrt(x^2+y^2)の定積分

質問

∫∫exp(sqrt(x^2+y^2)/(2*a^2))dxdy
x:-a/2→a/2
y:-a/2→a/2
の定積分の解き方がわかりません.
sqrt(x^2+y^2)＝tと置換積分など行いましたが解けません.
また不定積分なら，x＝rcosΘ，y=rsinΘとおいて解けるのですが，
定積分だとΘの範囲をどうすればよいかわかりません.
また積分範囲が円の仕様になっていませんので，Θの範囲を決めれません.

よろしくお願いします.

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

計算はしていないので確認をお願いします。

まず、領域を8つに分けます。
x軸,y軸,y=x,y=-xの4本の直線で分割した領域に分けます。
それぞれでの積分の値は対称性から等しくなるはずなので、そのうち一つだけを考えましょう。

ここでは
x軸,y=x,x=a/2の3本の直線で囲まれた領域を考えて見ましょう。
x=ar/2*cosθ
y=ar/2*sinθ
とおくと 0≦x≦a/2,0≦y≦xの条件は
0≦θ≦π/4
0≦r*cosθ≦1 → 0≦r≦1/cosθ
となります。(一つ目の条件からcosθ>0)

つまり求める積分は
8*∫[0,π/4]dθ∫[0,1/cosθ]dr (a^2/4)r*exp{r/(4a)}
と等しくなります。(dxdy=(a^2/4)r*drdθとなります)
後ろの積分は楽にできるでしょう。前までは確認していません。

お礼

ありがとうございます。

領域を分割する発想がなかったです.

新しい見方ができるようになりました.

回答No.1

Ae610

exp()の中の√が何処まで掛かっているのか分かり難いが(一応√(x^2+y^2)迄と考えて・・・、)
[0≦x≦a/2 , 0≦y≦a/2]の部分の正方形領域が4つあると考えればよいので
∫∫exp(√(x^2+y^2)/(2・a^2))dxdy (x=rcosθ , y=rsinθ とおいて変数変換して)
= 4・{∫[0,π/4]dθ∫[0,a/√2]{exp(r/2a^2)r}dr＋∫[π/4,π/2]dθ∫[0,a/√2]{exp(r/2a^2)r}dr}
・・・で計算出来ると思う。
計算してみると・・・
= 2π・(4a^4＋(√2)a^3・e^(1/(2a√2))－4a^4・e^(1/(2a√2))

（ここのところ計算で大チョンボやらかすので計算は自分で確かめてもらいたい！）

お礼

質問が見づらいもので申し訳ございません.

ありがとうございました.
自分でもやってみます.