∫exp{i(k-k')x dx =δ(k'-k)

質問

∫exp{i(k-k')x dx =δ(k'-k)
積分範囲は(-∞,∞)
となる理由がよくわかりません。
k=k'のときは被積分関数が1となるので無限大に発散することはわかるのですが
k≠k'のとき被積分関数はcosとsinが出てきてそれを無限積分すると
発散（振動）するのではないかと思います。
なぜk≠k'のとき積分値が0になるのでしょうか？

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

この質問、多いですね。
δ関数は本来は極限で定義される超関数なので、
普通の意味の積分では求められないのです。

前に書いた回答がありますのでどうぞ。
http://okwave.jp/qa/q5544688.html

あと、このwikipediaの「Sinc 関数による近似」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6%95%B0#Sinc.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AB.E3.82.88.E3.82.8B.E8.BF.91.E4.BC.BC

も参照してください。

補足

ではこの積分はデルタ関数を表わす式で
右辺→左辺の書き方が普通なのですか？
sinやcosの無限積分は発散しますよね？

回答No.3

hitokotonusi

＞sinやcosの無限積分は発散しますよね？

発散はしません．発散と不定は全く違うので区別してください．

＞右辺→左辺の書き方が普通なのですか？

フーリエ解析のときは普通です．

が，それ以外でこのタイプの積分に出会ったことはないので，
この積分が出てきたらまず間違いなくフーリエです．
その意味でこの積分をデルタ関数で書くのは普通です．

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.2

post_iso

f(x)=δ(x)をフーリエ変換すると

F(k)=∫e^{-ikx}δ(x)dx
　　 =1
となります。

これをフーリエ逆変換をすることで

f(x)=
δ(x)=(1/2π)∫e^{ikx}dk

補足

ご回答ありがとうございます。
ではeをsin,cosに直して積分する
方法は間違っているのでしょうか？
そもそもsin,cosに直してはいけないのですか？