dy＝dx

質問

こんにちは
さっそく質問なのですが、
例えば、微分方程式や置換積分でdy/dx＝１⇒dy=dxのような式変形を使いますよね。
が、このような変形をしていいのはなぜですか？

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

ときおり出てくる質問ですね．
＃1=0.999...ほどではないですが

疑問ももっともで，そもそも dy/dx は一個の記号であって
けっして「分数ではない」ので，約分はできません．
ですので決して「ただの分数計算」とかではないのです．

これはライプニッツが考えた記号が
すごすぎるのが混乱のもとなのですが，
「分数ではない」けども「分数のように書いた」のには
もちろん理由があるんです．
それは「あたかも分数のように計算できる」ので，
分数のように書いた方が計算しやすいからです．

例えば，合成関数の微分
{f(g(x))}'= f'(g(x)) g'(x)
これを dy/dx 式に書き直します．
簡単のため，t=g(x) とおくことにして
{f(g(x))}' = df/dx
f'(g(x)) g'(x) = (df/dt) (dt/dx)
これは「約分の形」になっています
この公式から誘導される置換積分
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(t) dt
を書き直すと
∫ f(t) dt/dx dx = ∫ f(t) dt
となりまさに約分．
積分に dx とかをつける理由のひとつが
このような形式的な計算が可能であることを利用して
計算しやすくすることです．

ということで，「本当は分数ではない」のだけども
微積分の各種計算規則を考慮すると，
分数のように書くと，あたかも約分ができるように
記述することができて，計算が楽になるというわけです．
初等的な範囲ではこれくらいの理解で問題ありません．

変数分離の微分方程式くらいでは
dy=dxなんていう変形を陽に行わなくても
置換積分だけで処理できます．
そして，置換積分で一々∫を書くのが面倒だから
省略したと解釈しても問題ないでしょう．

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実は，これには裏があって，
じつは，dy とか dx という「もの」が定義できるんです．
そして，それの「割り算」として，dy/dx も定義できて，
しかも，その値が導関数になるんです．
さらに，dyとかdxの「積分」というのも定義できて，
これは「普通の積分」の拡張となります．

お礼

回答ありがとうございました
>「割り算」として，dy/dx も定義できて，
しかも，その値が導関数になるんです．
そうなんですか。気になるので調べてみようと思います

回答No.3

adinat

高校生には詳しくは教えないのですが、そういうことをやってもよいと本当にきちんと証明するには、かなり深い微積分の議論が必要になります。微分形式をきちんと勉強するか、あるいはたとえば解析概論なんかをごらんになるとよいです。ともあれ、大事なことは(dy)/(dx)とは、yの変分dyとxの変分dxの比のことであって、厳密にはyのxに関する導関数ではない、ということです。yのxに関する導関数は、xに関する微分を表すd/dxをyに作用させて、(d/dx)yと表すべきなのです。yは分子に乗せるのではなく、横にかく。そして大事な定理なのが、
(dy)/(dx)=(d/dx)y (=y')
が成り立つ、というものです。左辺のことを微分商と言ったりすることもありますが、要はdyとdxの比であるので、導関数y'はその比例定数ということになります。したがって、dy=y'dxと書いてもよいのです。これがご質問に対する答えです。

この辺りの事情はいろいろな導入、展開の仕方があって、いろんな説明のされ方があるのですが、何はともあれ、あたかも通常の分数のように分母を払ったりしてもよいのだ、ということになります。dxやdyというのは受験数学までは厳密には定義しません。ですが、積分などをするときにたびたび何の気なしに使うことになります。本当はきちんと説明すべきなのだろうけれども、それを言ったら、受験数学での極限の扱いも厳密ではないのですし、要は高校レベルの微積分というのは、多少数学的厳密性を犠牲にして、正しいけど証明抜きでやっている議論、という認識をされるのがよいでしょう。気になった方はきちんと勉強されればよいのです。

お礼

回答ありがとうございました
勉強します

回答No.2

ANASTASIAK

dy/dx＝１
になるということは分母分子の各増分が等しいときです。
なので、それを式に書くと、dy=dx
となるわけです。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

noname#77845

ま～ったく勘違いしているかもしれませんが…
dy/dx=1
の両辺にdxを掛けたら
(dy*dx)/dx=1*dx
dy=dx
っていうこと？
ただの分数計算。

補足

回答ありがとうございます。

dy/dxはyをxで微分する、という意味なのに、
dy/dx=dy÷dxであるかのように使って計算していいのは
なぜなのでしょう？