ガンマ分布

質問

y=exp(-x)
の分布を持つn個の独立な変数の和は、ガンマ分布

(x^(n-1))*exp(-x)/G(n)

であらわすことができます。

(1)ここからカイ２乗分布はどのように誘導できるのでしょうか？
(2)独立な変数のn個の４乗の和（カイ４乗分布？）はガンマ関数で
　あらわすことができるのでしょうか？

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

(1)はこれかな。
http://bio-math10.biology.kyushu-u.ac.jp/~sasaki/HP/LecNotes/chi_square/chi_square_index.htm

(2)はどうだろう。これと同様にやってみればできるのかもしれない。（多分無理だと思うけど）

お礼

ありがとうございます。
(1)は、確かにこれですね。
(2)は、４乗根が出たりして単純ではなさそうですね。
一度検討します。

補足

ここのは自由度１で、自由度２以上がどうなるかわからなくなりました。このスレは一旦閉めて改めて質問します。

回答No.4

zk43

ちょっと補足ですが、リンクをよく見てなかったのですが、

Γ(n/2,σ) は，カイ２乗分布 χ2(n) となる。

という記述があるのですが、正しくはこのσは２にしないといけませ
ん。

何の資料かわかりませんが結構誤植があるのではないかと思います。
勉強はちゃんとした確率・統計の本でやった方が良いと思うのですが
・・・ガンマ分布とカイ２乗分布の関係もちゃんとかいてあるし・・・

なお、カイ４乗分布というのはないです。(2)は標準正規分布の４乗
なのか題意はよくわかりませんが、ガンマ分布では表せないと思いま
す。

補足

あのうカイ４乗分布がないのは知っているのですけど。
質問をわかりやすくするために書いているだけで。
カイ２乗のアナロジで、標準正規分布の４乗和の分布がどうなるかが
知りたいのですけど？

よろしければ、回答に対する答えを教えていたでけませんか？
いまさら勉強して導出するのならここで質問しないのですけど。

回答No.3

zk43

p個としてX1+…+Xpがガンマ分布に従うというのは確かに正しいです。
一般的にpは整数でなくても、p>0なる実数で考えます。
また、分母に(n-1)！とありますが、(p-1)！のことであると思います。

このパラメータ－p、σのガンマ分布において、p=n/2、σ=2とすれば
自由度nのカイ２乗分布になります。

また、X1,…,Xnが独立で標準正規分布に従うとすると、これらの２乗
X1^2,…,Xn^2は自由度１のカイ２乗分布に従い、これらの和
X1^2＋…＋Xn^2は自由度nのカイ２乗分布に従います。

補足

ありがとうございます。
結果は知っているのですが、その導出過程を知りたいのです。
それと、
X1^4＋…＋Xn^4
がどうなるか？
知りたいのはむしろこちらです。

回答No.1

zk43

ガンマ分布では何個とかパラメーターは整数である必要はなく、
パラメーターを整数にしたときがカイ２乗分布のようなイメージ。

何か根本的におかしいので、基本的な分布から見直した方が良いと
思います。

お礼

補足の補足
何個=pは引用HPのガンマ分布の説明。
下のほうのカイ２乗の説明には、
変数の数がnで、カイ２乗分布は
χ2(n)
になるとあります。

補足

回答ありがとうございます。
ただ、カイ２乗分布は自由度つまり独立な変数の数がパラメータの
一つになります。
本式は、
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/gamma/gamma.htm
より引用したもので、基本的に間違いありません。
ここでは何個=pです。
カイ２乗の場合、1/2がでてくるのですが、その導出過程を教えていただきたいのです。